Encontrar un polinomio irreducible de grado $n$ en $ \mathbb Q[X]$ con raíces reales

Question

Contexto.

Estaba tratando de probar que para un determinado $n$ existe un campo de grados totalmente real $n$ .

Entendí que era equivalente a encontrar un polinomio $P$ de tal manera que

(i) $P \in\mathbb Q[X]$ ;

ii) $P$ es irreducible;

iii) $P$ sólo tiene raíces reales en $ \mathbb C$ ;

iv) $P$ tiene un título $n$ .

Tuve éxito en mi problema inicial gracias a este y este dos preguntas de MSE.

Pero la construcción es abstracta, y no puedo deducir de ella un polinomio explícito que satisfaga las cuatro condiciones.

La pregunta.

Para un determinado $n$ ¿Sabes cómo puedo construir un polinomio explícito $P$ satisfaciendo (i), (ii), (iii) y (iv)?

Answer 1

Estoy asumiendo que por "las verdaderas raíces en $ \mathbb {C}$ " te refieres a las raíces reales (de $ \mathbb {R}$ ). Una posible familia de polinomios que satisfacen todos estos criterios (para $n \geq5 $ ):

$$ f_n(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-n)+1. $$

Prueba. Ad i) y iv) Trivial.

Ad ii) Es bien sabido que este polinomio es irreducible, se desprende muy bien del criterio de irreducibilidad de Pólya, véase por ejemplo Demuestra que el polinomio $(x-1)(x-2) \cdots (x-n) + 1$ , $n \ne 4$ es irreducible sobre $ \mathbb Z$ y/o preguntas relacionadas.

Anuncio (iii) (boceto) Esto es un poco técnico pero puede hacerse (se mantiene para $n \geq 4$ ). La idea es que tenemos $f_n(i)=1$ para $i=1 \dots n$ . Ahora, si miramos a $f_n(k/2)$ para $k=1,3, \dots ,2n-1$ tenemos otro $n$ puntos, de los cuales $ \lceil n/2 \rceil $ son negativos. Así que examinando los cambios de signo, podemos llegar a la conclusión de que $f(x)$ tiene exactamente $n$ raíces reales.

Answer 2

Tome un polinomio de Eisenstein ( enlace ) $P(x)$ con coeficientes enteros para un primo $p$ . Ahora considera $a$ un número entero tal que $a+ Im(x_k)>0$ para todas las raíces $x_k$ de $P(x)$ y además $a \equiv 0 \bmod {p^2}$ . Luego

1. $P(x- i a) \in \mathbb {Z}[x]$ tiene todas las raíces en el medio plano superior.

2. $Re(P(x- i a))$ es un polinomio de Eisenstein para $p$ .

Denota por $Q(x)=Re(P(x-ia))$ .

Desde la 1. $Q(x)$ tiene todas las raíces reales (y distintas) (ver enlace )

Desde el 2. $Q(x)$ es irreducible sobre $ \mathbb {Q}$ .

Ejemplo: $P(x) = x^n+3$ , $\ \ p=3$ , $a=9$ . $$ Q(x)=1/2(\ (x+9i)^n+(x-9i)^n)+3 $$

Answer 3

Tome un polinomio con grandes coeficientes enteros con $n$ raíces reales. Luego perturben ligeramente los coeficientes (sumen o resten uno de algunos de ellos) para hacer que el polinomio reduzca el módulo $2$ a un irreductible modulo polinomio $2$ . Su nuevo polinomio es irreducible sobre $ \Bbb Q$ y a menos que haya tenido mala suerte o haya sido descuidado, todavía tendrá $n$ real raíces.