Determinar cuándo $T(S^n \times S^k)$ es un trivial tangente paquete.

Question

Mi respuesta parcial es que , para hacer $T(S^n \times S^k)$ trivial, una condición necesaria es que el $n$ o $k$ es impar.

Mi argumento es el siguiente: Supongamos $T(S^n \times S^k)$ es trivial, es decir, $S^n \times S^k$ es parallelizable. En particular, existe un mundial de la no-desaparición de campo vectorial, decir $X$. Se desprende de Poincaré-Hopf índice teorema que $$\chi (S^n \times S^k)=0$$

Por otro lado, por Kunneth fórmula, $H_*(S^n \times S^k)=H_*(S^n)\otimes H_*(S^k)$; y de ello se sigue que $$\chi (S^n \times S^k)=1+(-1)^n+(-1)^k+(-1)^{n+k}=(1+(-1)^n)(1+(-1)^k)$$ Por lo tanto, una condición necesaria debe ser "$n$ o $k$ es impar".

Pregunta (1) Es la condición "$n$ o $k$ es impar" una condición suficiente?

(2) hay algunos sistemático de los métodos para resolver este tipo de problema---para la determinación de la tangente paquete o incluso de haces de fibras en un colector?

(3)en cuanto a la referencia de los libros relacionados con "paquete de teoría", sólo sé Hatcher libro "Vector bndles y K-teoría" y Bott del libro "formas Diferenciales en topología algebraica". ¿existen otras más exhaustivo de los libros de referencia más?

Por favor, ayuda! Muchas gracias!

Answer 1

(1) Sí. Utilice el hecho de que el $TS^n$ estable trivial. (Explícitamente, incrustar $S^n$ $\mathbb{R}^{n+1}$ y nota que la normal en paquete es trivial, ya que claramente admite un lugar-desaparición de la sección. Ahora tenga en cuenta que $T(S^n\times S^m) = TS^n \oplus TS^m$ e inducir a los en $n, m$.)

(2) sin duda Hay una gran cantidad de resultados acerca de la clasificación de paquetes por la característica de las clases, hasta estable de la decadencia, para clases específicas de colectores (por ejemplo, cerrado, orientado $3$-colectores), etc., pero no sé de una conveniente algoritmo.

(3) Hatcher y Bott libros son excepcionales, pero me gusta Husemoller "Haces de Fibras".