He leído sobre los primos (normales), los primos de Gauss y los primos de Eisenstein, que utilizan diferentes formas de definir un número entero como primo. Por ejemplo, $2$ factores en $1-i$ y $1+i$ para los primos guassianos. Aunque pienso que esto podría ser sólo la superficie, y me preguntaba: ¿Existen generalizaciones de los primos de formas especiales, o son los primos gaussianos y de Eisenstein las únicas formas interesantes de definir dichos primos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En la línea de los ejemplos que has citado, las generalizaciones de los primos en $\mathbb Z$ son elementos primos en anillos de enteros de campos numéricos algebraicos .
Toda la zona de teoría algebraica de los números se ocupa de cómo los primos en $\mathbb Z$ factores en anillos de enteros (y más).
Los enteros de Gauss y los enteros de Eisenstein son útiles para responder a preguntas sobre qué números están representados por ciertas formas cuadráticas ( $x^2+y^2$ en el caso de los enteros gaussianos y $x^2-xy+y^2$ en el caso de los enteros de Eisenstein).
El caso general es mucho más difícil. Véase el libro Primas de la forma $x^2+ny^2$ de David Cox, que es excelente pero no es para principiantes.
daniel
Puntos
4679
Tal vez no sea lo que tenías en mente, pero creo que la generalización del teorema de los números primos y la correspondiente generalización de los primos en números con más de un factor (a veces llamados k-primos) se califica como una generalización interesante.
La PNT generalizada, en la que $\pi_k(n)$ es el número de k-primas que no superan a n, es:
$$\pi_k(n)\sim \frac{n}{\ln n} \frac{(\ln \ln n)^{k-1}}{(k-1)!}.$$
