Existe un ejemplo de un espacio topológico $X$ que puede ser $drawn$, cuyo grupo fundamental de la es $S_3$? Sé que cada grupo es el grupo fundamental de un espacio topológico, pero necesito un ejemplo concreto.
Respuesta
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Una pregunta interesante. En general obtendrá $\langle a,b,c|a^m=b^n=c^l=abc\rangle$ como grupo fundamental de la $3$-colector $\mathcal{L}/(m,n,l)$ donde $\mathcal{L}$ está conectado Mentira-grupo de orientación de la preservación de isometrías del plano de $P$ $(m,n,k)=\langle a,b,c|a^m=b^n=c^l=abc\rangle$ es la orientación de la preservación de las transformaciones de un triángulo con los ángulos $\frac{\pi}{m}, \frac{\pi}{n}, \frac{\pi}{l}$ en el Euklidean, esférica o de plano hiperbólico $P$, según opon $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{l}$ $ =1$, $>1$ o $<1$, respectivamente. (ver Joyas, Computadoras y Atractores de 3-Variedades por Sóstenes Lins).
Usted también debe leer EN LAS 3 DIMENSIONES de BRIESKORN COLECTORES de M(p,q,r)de John Milnor.
Pero hay una forma más fácil.
Tal vez usted debe pensar acerca de las $\langle a,b,c|a^2=b^2=c^3=abc=e\rangle$ o $\langle s_1, s_2 \mid s_1^2 = s_2^2 = (s_1s_2)^3 = e\rangle$ (ver groupprops.subwiki.org) en términos de van Kampen para la construcción de un espacio con este grupo fundamental.
Primera toma de $S^1\vee S^1$ (un ciclo para cada una de las $s_i$) y tres copias de $D^2$ a la forma de la relación. El límite de la primera $D^2$ está pegado a el ciclo de $s_1$ por ir dos veces a su alrededor. También el límite de la segunda $D^2$ está pegado a el ciclo de $s_2$ va dos veces a su alrededor. A continuación, el límite de la tercera $D^2$ va tres veces alrededor de toda la $S^1\vee S^1$.
Esto debería dar a su grupo fundamental. Va a ser difícil de visualizar, pero creo que es posible mediante el dibujo de las cosas de una manera transparente.
