Linealmente independientes y dependientes de las columnas

Question

Mi libro presenta la siguiente matriz:

\begin{bmatrix}1&0&3&0&-4\\0&1&-1&0&2\\0&0&0&1&-2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}

El libro denota las columnas, como se $a_1, \ldots, a_5$, y nos pide que diga si las siguientes columnas son linealmente independientes:

$$\{a_1, a_2, a_4\}, \{a_1, a_2, a_3\}, \{a_1, a_3, a_5\}$$

El libro la respuesta es la siguiente:

Debido a $a_3 = 3a_1 - a_2, \{a_1, a_2, a_3\}$ es linealmente dependiente. Por eso, $\{a_1, a_2, a_4\}$ $\{a_1, a_3, a_5\}$ son linealmente independientes.

Yo ya a comprender cómo obtener la respuesta correcta para este problema; sólo se observa en la matriz y ver si uno de ellos puede ser representado como una combinación lineal de los demás o no. Estoy confundido en el libro la forma de hacerlo. Estoy confundido en donde se dice que "por Lo tanto, $\{a_1, a_2, a_4\}$ $\{a_1, a_3, a_5\}$ son linealmente independientes" -- parece que están llegando a esa conclusión a partir de ver que $a_3 = 3a_1 - a_2$ , y no entiendo cómo los otros conjuntos de' independencia lineal puede ser la conclusión de que?

Answer 1

Tienes razón en que el libro no debe concluir de esa manera a menos que usted tenga información adicional, tal como sólo uno de esos juegos no son linealmente independientes.

De lo contrario, sin obtener información adicional acerca de $a_4$ $a_5$ no podemos hacer tal conclusión, por ejemplo, puedo reemplazar$a_4$$a_1+a_2$, y la conclusión habría sido falsa.

Answer 2

Tenga en cuenta que la matriz es reducida escalonada.

Desde el set $\{a_1,a_2,a_4\}$ consiste en el pivote (o dominante) columnas, es linealmente independiente.

Por otra parte, la nonpivot columnas pueden ser fácilmente escribir como combinación lineal de la dinámica, es decir, $$ a_3=3a_1-a_2,\quad a_5=-4a_1+2a_2-2a_4 $$ Esto implica que $\{a_1,a_2,a_3\}$ es linealmente dependiente.

Para el último set, podemos razonar de la siguiente manera: quitar columnas $2$ $4$ para obtener una matriz en (nonreduced) escalonada, donde cada columna es dominante.