$H^1$ de una constante gavilla

Question

Deje $X$ ser una irreductible curva suave, y $\underline{k(X)}$ la constante gavilla en $X$ con el campo de función $k(X)$ como fibras.

La lectura de Serre del Algebraica de los grupos y de los campos de la clase conocí a la demanda ($H$ denota gavilla cohomology) $$ H^1(X, \underline{k(X)}) = 0 $$ motivados por la frase: "el nervio de cada cubierta abierta de a $X$ es un simplex".

No sé cuál es el nervio de una apertura de la tapa es, pero de todos modos la anterior afirmación parece bastante intuitiva: un elemento de $H^1$ es una sección de $\underline{k(X)}$ definido sólo en la intersección de los pares de abre de una cubierta de $X$. Dicha sección local, en nuestro caso, siempre se trata de la restricción de un mundo definido por la sección. Después de todo la gavilla es constante, y una sección global se compone de una colección de un arbitrario regular la función de cada punto de $X$, con cualquier tipo de saltos permitidos.

Es mi razonamiento correcto? Podría usted por favor me ayude a formalizar?

Answer 1

Resultado
Si $X$ es una irreductible espacio topológico y $\underline A$ la constante gavilla asociados para el grupo abelian $A$, luego tenemos por primera Čech cohomology grupo $\check H^1(X,\underline A)=0$ .
Prueba
Esto es suficiente para demostrar que, por arbitraria que cubre $\mathcal U =(U_i)_{i\in I}$ tenemos $ \check H^1(\mathcal U,\underline A)=0$.
Dado un cocycle $(g_{ij})\in Z^1(\mathcal U,\underline A)$, corregir algunos $i_0\in I$ y definir el $0$-cochain $(h_i)\in C^0(\mathcal U,\underline A)$$h_i=g_{i_0i}$. El cocycle condición de $g_{i_0j}=g_{i_0i}+g_{ij}$ se traduce en $h_j=h_i+g_{ij}$ o $g_{ij}=h_j-h_i$.
Esto demuestra que la cocycle $(g_{ij})$ es el coboundary de la cochain $(h_i)$, y por lo tanto que la clase de la que cocycle es cero en $ \check H^1(\mathcal U,\underline A)$.
Desde $(g_{ij})$ fue arbitraria cocycle, tenemos $ \check H^1(\mathcal U,\underline A)=0$, como se había prometido.

Compruebe su comprensión
En la tierra donde hice uso que nuestros gavilla es constante y que $X$ es irreducible ?!
Edit: Respuesta
Cuando he definido $h_i=g_{i_0i}$.
Desde $g_{i_0i}\in \Gamma(U_{i_0i},\underline A)$$h_i\in \Gamma(U_i,\underline A)$, la definición de $h_i=g_{i_0i}$ sólo tiene sentido debido a que $\Gamma(U_i,\underline A)=\Gamma(U_{i_0i},\underline A)=A$.
Vea nota 1) por debajo de donde hago hincapié en que $\Gamma(U,\underline A)=A$ para todos los abiertos no vacíos de a $U$'s.

Comentarios
1) La irreductibilidad de $X$ implica que la constante de presheaf asociados a $A$ es ya una gavilla es decir, que la constante gavilla $\underline A$ está dado por $\Gamma(U,\underline A)=A$ para todos los abiertos no vacía de subconjuntos de a $U\subset X$.
(Para reducible espacios topológicos $\Gamma(U,\underline A)$ consiste localmente constante mapas de $U \to A$)
Esto implica que $\underline A$ es flácida (=flasque).
2) Para arbitrario flácido poleas $\mathcal F$ arbitrarias de espacios topológicos $Y$ tanto Čech cohomology grupos y genuino cohomology grupos (introducido por el Grothedieck a través de derivados functors) son cero en todos los grados positivos : $\check {H}^n(Y,\mathcal F)=H^n(Y,\mathcal F)=0$$n\gt 0$.
3) Y para terminar en una nota agradable: Čech cohomology grupos y genuino cohomology grupos coinciden siempre en grado $1$ para todas las poleas $\mathcal G$ de abelian grupos, flácida o no: $\check {H}^1(Y,\mathcal G)=H^1(Y,\mathcal G)$.