Demostrar que $\mu_{\star}(A) = \frac{\sup A - \inf A}{2}$ es la medida exterior.

Question

Dejemos que $X = \mathbb{N}$ y $\mu_{\star}: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \rightarrow [0,\infty]$ tal que $$\mu_{\star}(A) = \frac{\sup A - \inf A}{2}$$ donde $\sup \emptyset = \inf \emptyset = 0$ . Demostrar que $\mu_{\star}$ es la medida exterior.

La primera condición es obviamente, porque tenemos $\mu_{\star}(\emptyset) = 0$ . Así que dejemos $$A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$$ nos gustaría demostrar que $$\mu_{\star}(A) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu_{\star}(A_n)$$

Por lo tanto, a partir de la definición de $\mu_{\star}(A)$ tenemos que mostrar:

$$\frac{\sup A - \inf A}{2} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sup A_n - \inf A_n}{2}$$ Así que $$ \sup A - \inf A \le \sum_{n=1}^{\infty} \sup A_n - \sum_{n=1}^{\infty} \inf A_n \quad (\dagger)$$

Pero como se puede ver en este tema: Desigualdad con el mínimo y el supremo para $A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$

desigualdad $( \dagger)$ no es cierto. Entonces, ¿este ejercicio es erróneo? Estoy realmente confundido, porque es el próximo error de hoy...

Le agradeceré su ayuda.

Answer 1

Para $$A = \left\{ 0,1,10,11 \right\} \\ A_1 = \left\{ 0,1 \right\} \\ A_2 = \left\{ 10,11 \right\} \\ A_3 = A_4 = ... = \left\{ 0 \right\}$$

que tenemos: $$ \mu_{\star}(A) = \frac{11}{2}$$ pero $$\sum_{n=1}^{\infty} \mu_{\star}(A_n) = 1$$

Entonces, ¿nos equivocamos en la tarea? $\mu_{\star}$ ¿no es la medida exterior?

Answer 2

Su respuesta es completamente correcta. No se trata de una medida exterior. Sólo toma el casco convexo del conjunto (que es un intervalo) y encuentra la mitad de su longitud euclidiana. Así que la unión de dos conjuntos pequeños (es decir, con una "medida" pequeña) que están muy alejados entre sí da lugar a un conjunto con una "medida" grande, exactamente como en tu ejemplo. Así que esto no puede ser una medida externa.