La contracción de Banach teorema de parcialmente definidos los mapas

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y deje $(f,D(f))$ ser parcialmente definido el mapa de la $X$, es decir, $D(f)\subset X$ y $$ f:D(f)\a X. $$ Supongamos que $f$ es una contracción, es decir, $$ d(f(x),f(y))\leq \rho\cdot d(x,y),\quad \text{para cualquier }x,y\in D(f) $$ para algunos $\rho \in [0,1)$ y que existe un punto de $x\in D(f)$ tal que $f^n(x)\in D(f)$ cualquier $n=0,1,2,\dots$

Es cierto, que la solución de $z = f(z)$ necesita para existir y ser único? Si sí, es posible aproximar esta solución en términos de$f^n(x)$$\rho$?

Si no, hay otros supuestos en que puede garantizar la unicidad y existencia? Las sugerencias se agradece.

Answer 1

1. La solución de $z=f(z)$ debe ser único, si existe (siempre que $\rho<1$ se supone), ya que si $z_1$ $z_2$ son ambas soluciones, a continuación,$d(z_1,z_2)=d(f(z_1),f(z_2))\not\le\rho\cdot d(z_1,z_2)$.
2. Si $f$ es sólo parcial, entonces la solución de las necesidades no existen en esta forma: vamos a $X$ ser la unidad de disco alrededor del origen y $D(f):=X\setminus\{0\}$$f:=x\mapsto \rho\cdot x$$\rho\in (0,1)$.
3. Sin embargo, si $X$ es completa, podemos extender $D(f)$ en cualquier caso con el punto límite de la secuencia de Cauchy a partir de los da $x$: $$x_0:=x,\ x_{n+1}:=f(x_n)\,.$$ (Una manera de ver que es de Cauchy es el uso de $$d(x_0,x_k)\le d(x_0,x_1)\cdot(1+\rho+\rho^2+\dots+\rho^{k-1})\le \frac{d(x_0,x_1)}{1-\rho}=:D$$ y por lo tanto $d(x_N,x_{N+k})\le \rho^N\cdot D $.)