Límite inverso de poleas

Question

Es bien sabido que si usted tiene un inverso sistema de abelian grupos $(A_n)$ (esto funciona en varios otros bonito categorías) en la que todos los mapas son surjective (o, al menos, satisfacer la Mittag-Leffler Condición), y si usted tiene una corta secuencia exacta de los inversos de los sistemas de $0\to (A_n)\to (B_n)\to (C_n)\to 0$, luego de tomar el límite es exacta y de que otra breve secuencia exacta $0\to \lim A_n \to \lim B_n \to \lim C_n \to 0$.

Hartshorne advierte que este no es el caso con abelian poleas en un espacio. En particular, usted puede tener todos los mapas de $(\mathcal{F}_n)$ surjective, y una breve secuencia exacta $0\to (\mathcal{F}_n)\to (\mathcal{G}_n)\to (\mathcal{J}_n)\to 0$ pero sólo conseguir la izquierda exactitud $0\to \lim \mathcal{F}_n\to \lim \mathcal{G}_n\to \lim \mathcal{J}_n$

I. e. usted obtener ese $\lim^1(\mathcal{F}_n)\neq 0$ a pesar de la satisfacción de surjectivity de mapas. Hay un ejemplo canónico de esta sucediendo?

Mi primera conjetura es que esto tenía que estar relacionado con el hecho de que usted puede tener un surjective mapa de poleas $\mathcal{F}\to \mathcal{G}$, pero todavía tienen un conjunto abierto para que $\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U)$ no es surjective. El ejemplo canónico de cuando esto ocurre es usar el mapa exponencial en la gavilla de holomorphic funciones en $\mathbb{C}^\times$, pero no es muy evidente para mí cómo convertir esto en un ejemplo de lo anterior.

Answer 1

Deje $X = \text{Spec}\;ℂ[x]$, e $\mathcal{G}⊂\mathcal{O}_X$ ser el subsheaf de regular (racional) de las funciones con ningún polo en $0$ o $∞$, y en la mayoría simple de los polos en otros lugares. Por lo tanto si $U = ℂ \backslash \lbrace a_1,\dotsc,a_m \rbrace$ o $ℂ \backslash \lbrace a_1,\dotsc,a_m,0 \rbrace$, $a_1,\dotsc,a_m$ distintas y distinto de cero, entonces a $\mathcal{G}(U) = \lbrace\dfrac{f}{∏_{i=1}^m(x-a_i)} \vert \deg(f)≤m \rbrace$. A continuación, vamos a $\mathcal{G}_n = \bigoplus_{d=1}^n\mathcal{G}$, $\mathcal{G}_{n+1}↠\mathcal{G}_n$ por la proyección en el primer $n$ componentes. Deje $\mathcal{F}_n = \bigoplus_{d=1}^n\mathcal{F}^d$ donde $\mathcal{F}^d⊂\mathcal{G}$ es el subsheaf de funciones con un cero de orden, al menos,$d$$0$. A continuación, la gavilla (no presheaf!) $\mathcal{G} / \mathcal{F}^d$ es isomorfo a la constante gavilla $ℂ[x]/(x^d)$. Por lo tanto, para no vacío $U$, $(\varprojlim\;\mathcal{G}_n/\mathcal{F}_n)(U) = ∏_{d=1}^∞ ℂ[x]/(x^d)$, mientras que $\varprojlim\;\mathcal{G}_n(U) = ∏_{d=1}^∞ \mathcal{G}(U)$. Pasando a los tallos, vemos a $\varprojlim\;\mathcal{G}_n → \varprojlim\;\mathcal{G}_n/\mathcal{F}_n$ no es surjective, ya $ℂ(x) → ℂ[[x]]$ no lo es.

Comentario: Obviamente, este ejemplo no es tan simple o instructivo como el tuyo. Sin embargo, se puede argumentar que el ejemplo debe ser al menos de este complejo, creo. Sin entrar en detalles, déjame al menos decir que surjectivity de una gavilla mapa es una propiedad local, por lo que toma más de un mundial topológico de la obstrucción de bloque.