¿Se puede encontrar una llanura aneloid?

Question

He definido un "aneloid" a ser un conjunto dotado de dos operaciones, adición y multiplicación, con la multiplicación siendo distributiva AMBOS lados en relación a la adición.

Traté de encontrar un ejemplo de "llanura" aneloid, que adtion y la multiplicación no tiene ninguna propiedad de un grupo abelian, yo. e. ambas operaciones deben ser no conmutativa, no asociativo, no tiene un elemento neutro (no estoy tomando en cuenta otra de las propiedades como los de la cancelación y idempotents).

He intentado muchas finito y lo infinito los ejemplos, pero me parece que el exigence de ambos lados de la distributividad implica al menos una propiedad de grupo (si desea la distributividad por un lado, es muy fácil encontrar ejemplos).

Traté de prueba por el absurdo, si existe una llanura aneloid, a continuación, uno de los lados de la distributividad es violado, pero no tengo éxito.

Mi pregunta es: ¿sabe usted un ejemplo de la llanura aneloid? O un simple aneloid viola el tanto de lado la distributividad?

Answer 1

$$\begin{array}{c|cccc} \diamond & 0 & a & b & 1\\ \hline 0 & 0 & 1 & a & b \\ a & b & a & 1 & 0\\ b & 1 & 0 & b & a \\ 1 & a & b & 0 & 1\\ \end{array}$$

$\diamond$ no es conmutativa: $a\diamond b =1\neq 0 = b\diamond a$

$\diamond$ no es asociativa: $(a\diamond a)\diamond b= a \diamond b = 1\neq 0 = a\diamond 1 = a\diamond(a\diamond b)$

Tomar cualquier campo finito $\mathbf{F}$ orden $p^n\geq 3$ y un generador de $a\in F$ tal que $a\neq0,1$. Definir una operación $\diamond$$F$$x\diamond y=a\cdot x + (1-a)\cdot y$. De acuerdo con el Teorema 2.6 en Jezek y Kepka papel de "Átomos en el entramado de las variedades de distribución groupoids," $\diamond$ distribuye sobre sí mismo.

Por lo tanto, si $A=\{0,1,a,b\}$, $\mathbf{A}=(A,\diamond,\diamond)$ es un sencillo aneloid.'

También, la palabra llanura ya ha sido utilizado para estructuras algebraicas: ver aquí.