Levantamiento Hensel Multidimensional

Question

Tengo una pregunta acerca de la aplicación práctica de (algunos) generalizada forma de Hensel del Lexema. No puedo encontrar declaró en una forma apropiada en Bourbaki o en cualquier otro lugar, así que aquí va ...

Deje $p$ ser un extraño prime: podemos trabajar a través de la $p$-ádico números de $Q_p$ con anillo de enteros $Z_p$ y residuos del campo de $F_p$. Tengo un montón de cuadrados y cuarto grado ecuaciones polinómicas en N variables con coeficientes en $F_p$, y tengo una (no la única) solución en $F_p^{N}$.

Para simplificar las cosas, supongamos que el número de variables N supera el número total de ecuaciones.

Es posible concluir, a partir de la no-desaparición de algún tipo de generalizada determinante Jacobiano, que mi conjunto de soluciones de ascensores $Z_p$?

Answer 1

El mismo método de prueba funciona en una dimensión más alta.

Deje que$F: \mathbb{Z}_p^m \to \mathbb{Z}_p^n$ sea nuestro sistema de funciones polinomiales.

Si$x \in \mathbb{Z}_p^m$ satisface

PS

entonces

PS

para algunos vectores$$ F(x) \equiv 0 \pmod {p^e} $. Además, la expansión de Taylor sobre$$ F(x) \equiv p^e y \pmod {p^{e+1}} $ nos dice

PS

así que mientras

PS

siempre tiene una solución para el vector$y$ (por ejemplo, más variables que ecuaciones y$x$ tiene rango completo), luego existen levantamientos.