Morita equivalencia de categorías acíclicos

Question

(Crossposted a MathOverflow.)

Llamar a una categoría acíclicos si sólo la identidad morfismos son invertible y el endomorfismo monoid de cada objeto es trivial. Deje $C, D$ dos finito acíclicos categorías. Supongamos que son Morita equivalente en el sentido de que la abelian categorías $\text{Fun}(C, \text{Vect})$ $\text{Fun}(D, \text{Vect})$ son equivalentes (donde $\text{Vect}$ es la categoría de espacios vectoriales sobre un campo $k$, dicen algebraicamente cerrado de característica cero). Se $C, D$ equivalente? (Si es así, podemos colocar la finitud de la condición?)

Sin acíclicos que esta condición es falsa; por ejemplo, si $G$ es un grupo finito considerado como una categoría de objeto, $\text{Fun}(G, \text{Vect})$ está totalmente determinado por el número de clases conjugacy de $G$, y es fácil de escribir los pares de nonisomorphic grupos finitos con el mismo número de clases conjugacy (tomar, por ejemplo, cualquier nonabelian grupo $G$ $n < |G|$ clases conjugacy y $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).

Por otro lado, creo que este resultado es conocido para ser verdad si $C, D$ son gratis categorías en grafos finitos por resultados básicos de la teoría de la representación de tiembla, y creo que también es conocido por ser cierto si $C, D$ son finitos posets.

Answer 1

Supongamos $C$ es finito. Luego acyclicity implica que hay un bien determinado subgrafo $Q_C$$C$, lo que genera $C$ como una categoría y de tal manera que sus flechas son irreducibles en $C$, es decir, no pueden ser factorizados no trivialmente. La categoría de functors $C\to\mathrm{Vect}$ es de la categoría de módulos en un determinado cociente $A_C$ de la ruta de álgebra en el carcaj $Q_C$, y el ideal involucrados (la cual es generada por todos los binomios que expresan las relaciones entre las flechas de $Q_C$$C$) es admisible en el sentido de Gabriel del teorema.

Si $C$ $D$ son dos acíclicos finito de categorías con las categorías equivalentes de functors a$\mathrm{Vect}$, $A_C$ $A_D$ son Morita equivalente, y por las observaciones anteriores, en realidad son isomorfos.

En particular, el tiembla $Q_C$ $Q_D$ son isomorfos. Este inmediatamente se da el caso de la libre categorías (y si uno de los dos es libre y son equivalentes, por lo que es el otro: la libertad es la misma cosa como la dimensión global en la mayoría de las $1$, y esta es una Morita invariante)

Si $C$ $D$ son posets, a continuación, los ideales, que presentan las álgebras de $A_C$ $A_D$ se determina únicamente, así que en ese caso, las categorías de la $C$ $D$ son isomorfos.

Answer 2

En MO, Benjamin Steinberg enlaces a un libro de Leroux con un contraejemplo.