¿Es una monotonía local $C^\infty $ función como mínimo?

Question

El siguiente es un ejercicio modificado de un libro de análisis 1.

Hay una función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con:
i) $f$ tiene en $0$ un mínimo local y global.
II) $f\in C^\infty$
III) no hay $\varepsilon>0$ así que $f$ es monotono en $(-\varepsilon,0]$
IV) no hay $\varepsilon>0$ así que $f$ es monotono en $[0,\varepsilon)$

Answer 1

sí es una función. $$ f (x) = \left\ {\begin{array}{rl} \sin^2\left(\frac{1}{x}\right) e^{-(x^{-2})}+e^{-(x^{-4})} & x\neq 0\ 0 & x=0\ \end{matriz} \right. $$ es obvio que la función es $C^\infty$, dado que es de $e^{-(x^{-4})}$ % estrictamente mayor $0$y el otro término es mayor igual $0$, $f$ debe tener un mínimo global y local en $0$.
La monotonía es un poco más técnica, con %#% $ #% con $$a_n=\frac{1}{2\pi n} \quad b_n=\frac{1}{2\pi n + \frac{\pi}{2} }$ y $a_n, b_n \rightarrow 0$$$a_n> bn>a{n-1}$n $ for all $$ (where the sequences are defined).$$f(a_n)=e^{-16\pi^4 n^4}$% $ $ and $vemos $f(b_n)=e^{-(2 \pi n+\frac{\pi}{2})^2}+e^{-(2\pi n+ \frac{\pi}{2})^4}$, % y $f(bn)>f(b{n+1})$. Por lo que la función no puede ser monótona en $f(an) f(a{n-1})$