Límite del lcm de los denominadores de los números racionales que suman 1.

Question

Esto está relacionado con la pregunta Si un conjunto finito de números racionales suma uno, ¿tiene uno de los racionales un denominador igual al MCI de todos los denominadores?

Supongamos que $1 = \sum\limits_{i=1}^n \frac{p_i}{q_i}$ , donde $p_i,q_i$ son enteros positivos, y $\gcd(p_i,q_i)=1$ .

Dejemos que $k = \max_{i=1}^n \{ q_i\}$ . $m=\operatorname{lcm}(q_1,\ldots,q_n)$ .

¿Podemos atar $m$ por $k$ y $n$ ? El límite obvio es $m\leq k^n$ Sin embargo, creo que existen mejores límites.

Answer 1

Dejemos que $\Pi$ sea el producto del $q_i$ 's. Si $r$ es un primo que divide a $m$ , $r$ debe dividir algunos $q_i$ Así pues, dejemos que $e>0$ sea máxima tal que $r^e$ divide $q_i$ para algunos $i$ y fijar tal $i$ . $r^e$ es entonces la mayor potencia de $r$ dividiendo $m$ . Dejemos que $\nu_r$ sea el $r$ -Valoración de los daños en $\Bbb Q$ . Entonces, como $\gcd(p_i,q_i)=1$ , $\nu_r(p_i/q_i)=-e<0$ que es el valor mínimo $\nu_r(p_j/q_j)$ puede tomar. Sin embargo, $\nu_r(\sum_{j=1}^n p_j/q_j)=\nu_r(1)=0$ , por lo que debe haber algún $i'\ne i$ con $\nu_r(p_{i'}/q_{i'})=-e$ . Por lo tanto, $r^e\mid q_{i'}$ y así $r^{2e}\mid \Pi$ . Repitiendo este paso para todos los primos $r\mid m$ da $m^2\mid \Pi$ . Por lo tanto, $m\le \sqrt{\Pi}\le k^{n/2}$ .

Answer 2

Suponiendo que todos los $q_i$ son distintos (en caso contrario, si todos los $q_i$ son iguales y todos $p_i=1$ el límite $m=k^{n}$ se cumple):

Si $t|q_i$ y $t$ es primo entonces existe algún otro $q_j$ donde $t|q_j$ desde $\sum_{i=1}^n \frac{p_i}{q_i}=\frac{p_1q_2...q_n+q_1p_2q_3...q_n+...+q_1q_2...p_n}{q_1q_2...q_n}$ y $gcd(p_i,q_i)=1$ .

Si la lista $k, k-1,...,k-n+1$ contiene x números primos, elimine esos x números primos, multiplique los miembros restantes de esa lista y multiplique por $(k-n+1)(k-n)...(k-n-x+1)$ para obtener un límite marginalmente mejorado.