Generalización de la $ \frac{a^2+b^2+c^2}{2} \times \frac{a^3+b^3+c^3}{3} = \frac{a^5+b^5+c^5}{5}$

Question

Si $a+b+c=0$ como se discute en este, estey este post, a continuación,

$$ \frac{a^2+b^2+c^2}{2} \times \frac{a^3+b^3+c^3}{3} = \frac{a^5+b^5+c^5}{5}\tag1 $$ $$ \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \times \frac{a^4+b^4+c^4}{2} = \frac{a^7+b^7+c^7}{7}\tag2 $$ $$ \frac{a^2+b^2+c^2}{2} \times \frac{a^5+b^5+c^5}{5} = \frac{a^7+b^7+c^7}{7}\tag3 $$ El uso de estas identidades básicas, podemos probar el agradable cuadrado identidades aquí, $$ \frac{a^3+b^3+c^3}{3}\times \frac{a^7+b^7+c^7}{7} = \left(\frac{a^5+b^5+c^5}{5}\right)^2 $$

y aquí para $(a^7+b^7+c^7)^2$. Algunas investigaciones muestran que,

$$\frac{(a^5+b^5+c^5)}{5\times18}\times\big(9(a^6+b^6+c^6) -(a^3+b^3+c^3)^2\big)= \frac{a^{11}+b^{11}+c^{11}}{11}\tag4$$ $$\frac{(a^7+b^7+c^7)}{7\times18}\times\big(9(a^6+b^6+c^6) +(a^3+b^3+c^3)^2\big)= \frac{a^{13}+b^{13}+c^{13}}{13}\tag5$$

P: ¿Cuál sería el correspondiente identidades, tan conciso como sea posible, para$p=17$$p=19$?

Answer 1

Cuando denotan s_k $$ = \dfrac{a^k+b^k+c^k}{k}, $$

a continuación, algunas expresiones $s{17}$ y $s{19}$:

$$ s5 \left(6s{12}-7s_5s_7-\frac{1}{2}{s3^4}\right) = s {17}, $$

$$ s7 \left(6s{12}-5s_5s_7+\frac{3}{2}{s3^4}\right) = s {19}. $$

O $$ s5 \left(s{12}+3s_6^2+4s_4s8\right) = s {17}, $$

$$ s7 \left(3s{12}+9s_6^2-4s_4s8\right) = s {19}. $$

Answer 2

Definir $\;sk := (a^k+b^k+c^k)/k.\;$ % entonces $\;s{17}=2s_{13}s_4+3s_9s_5s3,\; s{19}=8s_8s_7s4+3s{11}s_5s_3.$

No tan bonito como las $\;s{11}\;$ y $\;s{13}\;$ pero son dos términos con coeficientes del número entero positivo.