compactación / secuencialmente compacto

Question

Estoy buscando dos ejemplos:

1. Un espacio compacto pero no secuencialmente compacto
2. Un espacio que es secuencialmente compacto pero no compacto

Explicaciones por qué los espacios son compactas y no compactas secuencialmente compacto / no secuencialmente compacto sería apreciado. También se agradecería una referencia. Por lo que sería la conclusión, no es ninguna equivalencia en general. Por supuesto son equivalentes en un espacio métrico.

Matemáticas

Answer 1

Los siguientes ejemplos son de $\pi$-Base, una base de datos de Steen y Seebach del Contraejemplos en la Topología.

(Haga clic en los siguientes enlaces para aprender más acerca de los espacios.)

Para compacta pero no secuencialmente compacto:

• Stone-Cech Compactification de los números Enteros
• Innumerables Producto Cartesiano de Unidad de Intervalo ($I^I$)

Para secuencialmente compacto, pero no compactas:

• Una Alteración De La Larga Línea
• $[0, \omega_1)$ ($\omega_1$ es la primera innumerables ordinal)
• El Largo De La Línea De
• Tychonoff Sacacorchos

Answer 2

Ejemplo 1 prueba: Piedra-Čech Compactification de los Enteros $\beta \omega$

Prueba: es compacto, obviamente. Vamos a probar que $\beta\omega$ no es secuencialmente compacto. Tenga en cuenta que cada conjunto infinito en $\beta\omega$ $2^\mathfrak c$ clúster de puntos, por lo tanto el único secuencias convergentes en $\beta\omega$ son los que finalmente son constantes; por lo tanto, si $X$ es un subespacio de $\beta\omega$ $X$ es secuencialmente compacto, entonces $X$ es finito. Por lo $\beta\omega$ no puede ser secuencialmente compacto.