Norma 1 proyección de una $C^*$-álgebra

Question

En un espacio de Hilbert, se sabe que las proyecciones de una norma mayor que 1 (con la excepción de $0$), y que los de norma 1 son exactamente las proyecciones ortogonales. La mayoría de las pruebas que he visto utilizar el espacio de Hilbert, un determinado vector en ella, o $\ker p$ o ${\rm im\,}P$.

Me preguntaba si podríamos probar esto en general $C^*$-álgebra (cuando las hay que no trivial proyecciones), el no uso de un activo subyacente espacio de Hilbert (dado por un GNS de la construcción).

Por ejemplo, la implicación de "proyección ortogonal implica norma 1 (o 0)" obras en general $C^*$-álgebra porque $$\|x\| = \|x^2\| = \|x^{*} x\| = \|x\|^2 \Rightarrow \|x\| \in \{0,1\}$$

No he sido capaz de demostrar lo contrario, sin el uso de un espacio de Hilbert. Así que tengo una norma 1 proyección de $x$, estoy bastante seguro de que tengo que trabajar en el interior de la $C^*$-álgebra $C(x)$ generado por $x$, y sus adjuntos.

El hecho de que $\|x\| = \underset{y \in C(x), \|y\|=1}\sup \|xy\| = \underset{y \in C(x), \|y\|=1}\sup \|yx\|$ (alcanzado por $y = x^*$) podría ser útil. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Tenemos $|x|=1$, $x^2=x$. Escriba $x=a+ib$, con selfadjoint de $a,b$. El % de igualdad $x^2=x$ahora es $$ una = a ^ 2-b ^ 2, \ \ \ b = ab + ba. $$ De la primera igualdad, $a^2-a=b^2\geq0$. Así $a^2\geq a$, que nos dice que $\sigma(a)\subset {0}\cup[1,|a|]$. En particular, $|a|\geq1$ (el caso $a=0$ fácilmente se descarta porque obliga a $b=0$). $|a|\leq|x|=1$, Que $|a|=1$. Ahora $\sigma(a)\subset{0,1}$, $a$ es una proyección. De $a=a^2-b^2$, obtenemos $b^2=0$, que $b=0$. Así $x=a$ es selfadjoint.