Forma normal de Jordania

Question

Me piden que encuentre la forma normal de Jordan de $A\in M_5(\mathbb{C}^{5x5})$ con el polinomio característico: $p(A)=(\lambda-1)^3(\lambda+1)^2$ y el polinomio mínimo $m(A)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)$

Hasta aquí llegué:

$$m_A(x)=(x-1)^2(x+1)\;\;\;:\;\;\;\;\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&-1&0\\ 0&0&0&0&-1\\ \end{pmatrix}$$

La matriz anterior la obtuve por sustitución de $m(A)$ en un $A\in M_5(\mathbb{C}^{5x5})$ matriz.

Y creo que es correcto (si no lo es por favor hágamelo saber) pero no sé por qué funciona?

¿Puede darme una pista de por qué funciona esto?

Answer 1

Conociendo el teorema de la forma normal de Jordan, se puede partir de la forma normal de Jordan. Supongamos que pertenece a una base $e_1,..,e_5$ . El polinomio característico te indica los elementos diagonales, y en este caso el polinomio mínimo podría determinar los tamaños de los bloques. Como $(\lambda+1)$ en $m(A)$ tiene un exponente $1$ no puede haber un $2\times 2$ bloque alrededor de la diagonal $-1$ . Del mismo modo, no puede haber un $3\times 3$ bloque alrededor de la diagonal $1$ pero si sólo $1\times 1$ bloques que contenía, $(\lambda-1)$ en $m(A)$ también tendría el exponente $1$ . Por lo tanto, debe haber un $2\times 2$ y un $1\times 1$ bloque de $1$ .

Podemos dividir el espacio en $U:={\rm span}(e_1,e_2,e_3)$ y $V:={\rm span}(e_4,e_5)$ , estos son $A$ -y tenemos $$m(A|_U)=(\lambda-1)^2\,,\quad\quad m(A|_V)=(\lambda+1)\,.$$ Este segundo dice usar que $A|_V+I_V=0$ Es decir, $A|_V=-I_V$ (donde $I_V$ es la identidad del subespacio $V$ ).

Dado que el nilpotente $N=\pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}$ tiene $N^2\ne 0$ pero $N^3=0$ tenemos que $m(\pmatrix{a&1&0\\0&a&1\\0&0&a})=(\lambda-a)^3$ . Esto justifica el texto de razonamiento anterior.