Prueba que topología final con una cierta propiedad es única

Question

Suponemos que dado un conjunto de espacios topológicos $(X_i,\tau_i), \forall i \in I$, un conjunto $Y$, un conjunto de funciones $f_i: X_i\rightarrow Y$, un espacio topológico $(Z,\sigma)$ y una función de $h : Y\rightarrow Z$.

A continuación, supongamos que $h$ es continua $\iff$ $h \circ f_i $ es continua $\forall i \in I$.

Deje $\tau$ final de la topología en $Y$, definidas $\tau = \{U \subset Y | f^{-1}_i (U) \in \tau_i, \forall i \in I\}$. Yo debo demostrar que esta topología es único, es decir,. sólo la topología en $Y$ que cumple con el requisito de que $h$ es continua $\iff$ $h \circ f_i $ es continua $\forall i \in I$.

Intento:

Suponga que en lugar de $\tau$ tuvimos $\tau^´$. A continuación, supongamos que $g \in \sigma$. Ahora $(h \circ f_i)^{-1} (g) \in \tau_i,\ \forall i \in I$, por función continua, la preimagen de un conjunto abierto es abierto. También se $ f_i^{-1}(h^{-1}(g)) = f_i^{-1}(v), \ v \in \tau^´$, por la misma razón.

Ahora $f_i^{-1}(v) \in \tau_i, \ \forall i \in I,$ por si no fuera, entonces $\tau_j \not\owns U=f_j^{-1}(v)=f_j^{-1}(h^{-1}(g))=(h \circ f_j)^{-1} (g) = U \in \tau_j$, para algunas de las $j \in I$, esta es la contradicción.

Pero lo que no puedo conseguir que fuera de mi cabeza, son un par de preguntas. Como, ¿cómo podemos saber que no hay algún set $k \in \tau^´$ donde $h (k) \notin \sigma$? Esta imagen $h (k)$ no tiene que ser cerrado, o no? Si es necesario, a continuación este caso es la violación de la continuidad de la $h$.

También, ¿cómo podemos saber que no hay $t \subset Y$ $\tau^´$ que $f^{-1}_j(t) \notin \tau_j$ y no es la preimagen de cualquier conjunto en $\sigma$? Este sería mayor que $\tau$ pero no habría manera de conseguir a estos juegos extra.

Answer 1

Como Arthur Fischer afirmó, se definen $\tau$ como se afirmó como una topología en $Y$ que depende de los espacios topológicos $(X_i, \tau_i)$$f_i$. A continuación, la unicidad de la declaración debe ser: $\tau$ es la única topología que tiene la propiedad

$$\forall \mbox{ topological spaces } Z : \forall h: (Y,\tau) \rightarrow Z: ( h \mbox{ continuous } \iff \forall_{i \in I} \,(h \circ f_i) \mbox{ continuous. })$$

Está claro que $\tau$ satisface esta propiedad, y usted ya sabe que esta a juzgar por su pregunta (se sigue directamente de la definición de $\tau$). Supongamos que una topología $\tau'$ satisface esta propiedad también (no es necesario demostrar que la $\tau = \tau'$). Dejando $h$ ser la identidad de $(Z,\tau')$ $(Z, \tau)$vemos que por el hecho de que para todas las $i$ y todos los $O \in \tau$: $(h \circ f_i)^{-1}[O] = f^{-1}[O] \in \tau_i$, por la definición de $\tau$, así que para todos $i$, $h \circ f_i$ es continua, y como $\tau'$ satisface nuestra propiedad deseada, $h$ es continuo, lo que significa que el %de$\tau \subset \tau'$, por la definición de continuidad (de la identidad del mapa).

Por otro lado, todos los $f_i$ son continuas como mapas de$(X,\tau_i)$$(X,\tau)$, esto se deduce de la propiedad, teniendo en $h$ la identidad en $(Y,\tau')$, que es siempre continuo (para cualquier espacio), y $h \circ f_i = f_i$. Pero esto significa, por definición, que para cualquier conjunto abierto $O$ $\tau'$ y cualquier $i \in I$, $f^{-1}[O] \in \tau_i$, el que dice que $O \in \tau$, y por lo $\tau' \subset \tau$, y tenemos la igualdad y la unicidad.

A menudo en este categórico pruebas, pasando por "canónica" de los mapas, como las identidades, es la clave del éxito...