Continua regularización Tikhonov para Deconvolution

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente deconvolución problema donde $g(s)$ es una función con valores reales y tiene energía finita:

$$g(s) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(t)e^{-(t-s)^2/2}dt$$

Puesto que la integral del núcleo es una diferencia núcleo de la solución está disponible a través del teorema de convolución.

$$f(t) = F^{-1}\left[\frac{F[g](w)}{e^{-w^2/2}}\right]$$

donde $F$ denota la transformada de fourier.

Ahora en la parte superior de esto me gustaría imponer energía finita condición en $f$, así que escribí la siguiente regularización de la minimización de errores

$$\hat{f}=\text{argmin}_f \left(\int_{-\infty}^{\infty}[g(s) - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(t)e^{-(t-s)^2/2}dt]^2 ds+ \alpha\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2dt\right)$$

Me gustaría mostrar que:

$$\hat{f}(t) = F^{-1}\left[\frac{F[g](w)}{e^{-w^2/2}+\alpha}\right]$$

o algo en la línea de este.

Answer 1

Sí, esto es ampliamente correcto y el paso principal que necesita es que la transformación de Fourier sea una isometría, por lo tanto, $\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2 \, dt = \int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|^2 \, d\omega $ (hasta un factor de $2\pi$ ). Entonces, Fourier transforma el problema y puedes escribir el objetivo en el espacio de Fourier. El resultado sigue inmediatamente.