¿Cuál de los supuestos de Gauss-Markov viola el error en las variables?

Question

El teorema de Gauss-Markov establece que para un modelo lineal

$$y = X \beta + \epsilon $$

si se cumplen las dos condiciones

$$\operatorname E[\epsilon \mid X] = 0$$ $$\operatorname{Var}(\epsilon) = \sigma^2 I < \infty $$

entonces el estimador estándar OLS $(X'X)^{-1}X'y$ es el mejor estimador lineal insesgado.

Ahora supongamos que medimos $X$ con errores. Entonces tenemos

$$y = (X + \mu)\beta + \epsilon = X\beta + \mu\beta+\epsilon$$

Si $\mu$ es de media $0$ con varianza constante, ambos supuestos se mantienen. ¿Por qué entonces el estimador MCO está sesgado?

Answer 1

Digamos que el verdadero proceso de generación de datos es: $$ y_i = x_i \beta + \epsilon_i $$ Pero no observamos $x_i$ En cambio, observamos $ z_i = x_i + u_i$ . Podemos escribir lo anterior utilizando observables ( $z_i, y_i$ ): $$ y_i = z_i \beta + v_i $$ Donde el término de error es $ v_i = \epsilon_i - \beta u_i$ . ¿Es el requisito de exogeneidad estricta $\operatorname{E}[v \mid z] = 0$ ¿Satisfecho? No.

• Si $\operatorname{E}[v \mid z] = 0$ entonces $\operatorname{E}[vz]=0$ mais $\operatorname{E}[vz]=\operatorname{E}[(\epsilon - \beta u)(x + u)] = - \beta \operatorname{E}[u^2] $ . $\bot$

La causa subyacente es que $\operatorname{E}[u \mid x + u] \neq 0$ . La historia exacta depende de la distribución de $x$ y $u$ pero, en términos generales, medidas por encima de la media $z$ van a estar asociadas a un error de medición positivo $u$ .