¿Jordan matrices "Formable" cerrados bajo multiplicación?

Question

Después de aprender acerca de la Forma Canónica de Jordan, comencé a pensar acerca de si se tienen dos matrices $A, B \in M_n(\mathbb{R}),$ si o no su producto $AB$ también tendrá una Forma Canónica de Jordan. Trivialmente, si consideramos los polinomios en $ M_n(\mathbb{C})$ entonces nuestra polinomio siempre tienen sus raíces en el campo. Así, a partir de lo que yo entiendo, esto es equivalente a preguntar si o no el polinomio característico de a$AB$ le tiene raíces reales.

Me puse a jugar con el $2 \times 2$ caso y si tenemos que $AB$ tiene un negativo determinante, entonces no podemos tener de que los autovalores de a$AB$ están en $\mathbb{C},$ ya que hay que multiplicar el factor determinante, pero desde el complejo de autovalores siempre vienen en un par conjugado, lo que significa que su producto es siempre positivo. No estoy seguro de cómo me puede romper el caso si el determinante es positivo.

Finalmente, mi propia intuición dice que las matrices que han Jordan en la forma va a ser cerrado bajo la multiplicación. Esto es porque si pensamos acerca de lo que las matrices con estricta, real autovalores hacer, simplemente reflexionar y estirar el espacio. Así que no creo que es posible encontrar dos matrices cuya matriz del producto será una rotación en el plano.

Además, yo no pude encontrar esta pregunta en otros lugares, pero si se tiene una respuesta, yo estaría encantado de leerlo.

Answer 1

Considerar 2 reflexiones. Cada uno de ellos tiene valores propios 1 y -1. Sin embargo, su composición es generalmente una rotación con valores propios complejos.

Así el producto <span class="math-container">$AB$</span> de dos matrices reales <span class="math-container">$A$</span> y <span class="math-container">$B$</span> con formas canónicas de Jordan no tiene necesariamente una forma canónica de Jordan así.

Answer 2

Esto es falso, ya en la $2 \times 2$ caso. Considere las matrices

$$A = \left[ \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$

$B$ tiene los autovalores $3, 1$, y el polinomio característico de a$A$ es $t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2$, lo $A$ tiene los autovalores $1, 1$. Pero

$$AB = \left[ \begin{array}{cc} -3 & 2 \\ -6 & 3 \end{array} \right]$$

ha polinomio característico $t^2 + 3$, por lo que tiene los autovalores $\pm i \sqrt{3}$.

Me he encontrado con estas matrices por primera toma de $B$ a ser diagonal diagonal con entradas de $s, 1$ y, a continuación, se estudió el efecto de la multiplicación por $B$ había en el polinomio característico de una genérica $A$. Es posible elegir $s$ , de modo que $AB$ tiene traza cero, de modo que, a continuación, sólo necesitamos su determinante a ser positivo para garantizar que dispone de los autovalores.

Answer 3

Cada matriz cuadrada $A$ sobre cualquier campo es similar a la de su propia transposición a través de un no-singular simétrica matriz $S$ (ver Taussky y Zassenhaus, En la transformación de similitud entre una matriz y su transpuesta).

Si $A=SA^TS^{-1}$ para un simétrica $S$, a continuación, $SA^T=AS=(SA^T)^T$, es decir, $SA^T$ es simétrica. En consecuencia, cada matriz cuadrada es un producto de dos matrices simétricas (debido a $A=(SA^T)S^{-1}$) y uno de ellos es no singular.

De ello se deduce inmediatamente que la respuesta a tu pregunta es negativa, a menos que $n=1$.