¿Tienen trucos para recordar el criterio de Eisenstein? Constantemente lo olvido y estoy buscando algo de lógica para no volver a olvidarlo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Es memorable si la vista de la prueba como consecuencia de la única factorización de productos primarios.
La primera parte de la hipótesis que dice: mod es (un asociado de) un primer poder de x^n
Por la singularidad de un \rm\color{#c00}{proper} factorización de la forma \, gh\equiv (b x^i) (c x^j)\, para \,\color{#c00}{i,j \ge 1}
Pero \,\color{#c00}{i,j \ge 1}\,\Rightarrow\, p\mid g(0),h(0)\,\Rightarrow\, p^2\mid g(0)h(0)\!=\!f(0),\, contra la hipótesis.
Dicho en lenguaje ideal es \,(p,x)^2\equiv (p^2)\,\pmod{\! x}
Comentario Este punto de vista lleva inmediatamente a la discriminante basado en la prueba para encontrar los turnos de x\mapsto x+c que son Eisenstein, por ejemplo, ver a esta respuesta.
La forma en que siempre recuerdo es a través del polígono de Newton.
La idea básica es esta: trace una gráfica de puntos con coordenadas (n,v_p(a_n)) para a_n los coeficientes de su polinomio y v_p la valoración con respecto a p. Luego nos fijamos en la parte inferior convexa casco, si se trata de un único segmento de recta con pendiente -1/n entonces el polinomio es irreducible, http://www-users.math.umn.edu/~garrett/m/number_theory/newton_polygon.pdf para más detalles.
Ahora esto probablemente suena más complicado! Pero su muy geométrica y por lo tanto más fáciles de visualizar lo que pasa (también se generaliza bastante bien!) y sólo recordar lo que la imagen tiene que mirar como es más que suficiente para recuperar la condición.