¿Soy el único que olvida constantemente el criterio de Eisenstein?

Question

¿Tienen trucos para recordar el criterio de Eisenstein? Constantemente lo olvido y estoy buscando algo de lógica para no volver a olvidarlo.

Answer 1

Es memorable si la vista de la prueba como consecuencia de la única factorización de productos primarios.

La primera parte de la hipótesis que dice: $\bmod p\!:\ f \equiv a x^n\,$ es (un asociado de) un primer poder de $x^n$

Por la singularidad de un $\rm\color{#c00}{proper}$ factorización de la forma $\, gh\equiv (b x^i) (c x^j)\,$ para $\,\color{#c00}{i,j \ge 1}$

Pero $\,\color{#c00}{i,j \ge 1}\,\Rightarrow\, p\mid g(0),h(0)\,\Rightarrow\, p^2\mid g(0)h(0)\!=\!f(0),\,$ contra la hipótesis.

Dicho en lenguaje ideal es $\,(p,x)^2\equiv (p^2)\,\pmod{\! x}$

Comentario $ $ Este punto de vista lleva inmediatamente a la discriminante basado en la prueba para encontrar los turnos de $x\mapsto x+c$ que son Eisenstein, por ejemplo, ver a esta respuesta.

Answer 2

La forma en que siempre recuerdo es a través del polígono de Newton.

La idea básica es esta: trace una gráfica de puntos con coordenadas $(n,v_p(a_n))$ para $a_n$ los coeficientes de su polinomio y $v_p$ la valoración con respecto a $p$. Luego nos fijamos en la parte inferior convexa casco, si se trata de un único segmento de recta con pendiente $-1/n$ entonces el polinomio es irreducible, http://www-users.math.umn.edu/~garrett/m/number_theory/newton_polygon.pdf para más detalles.

Ahora esto probablemente suena más complicado! Pero su muy geométrica y por lo tanto más fáciles de visualizar lo que pasa (también se generaliza bastante bien!) y sólo recordar lo que la imagen tiene que mirar como es más que suficiente para recuperar la condición.