Suma de dos cantidades geométricas complejo infinitos

Question

deje $$C=\frac{\cos\theta}{2}-\frac{\cos2\theta}{4}+\frac{\cos3\theta}{8}+...$$ $$S=\frac{\sin\theta}{2}-\frac{\sin2\theta}{4}+\frac{\sin3\theta}{8}+...$$ Quiero encontrar la suma de la serie $C+iS$ y por lo tanto encontrar expresiones para $C$ e $S$.

por lo que la suma de $C+iS$es $$C+iS=(\frac{\cos\theta}{2}-\frac{\cos2\theta}{4}+\frac{\cos3\theta}{8}+...)+i(\frac{\sin\theta}{2}-\frac{\sin2\theta}{4}+\frac{\sin3\theta}{8}+...)$$ $$=\frac{1}{2}(cos\theta+i\sin\theta)-\frac{1}{4}(cos2\theta+i\sin2\theta)+\frac{1}{8}(cos3\theta+i\sin3\theta) + ...$$ $$=\frac{1}{2}(cos\theta+i\sin\theta)-\frac{1}{4}(cos\theta+i\sin\theta)^2+\frac{1}{8}(cos\theta+i\sin\theta)^3 + ...$$

Así que yo sé que ahora tengo que poner la suya en una serie geométrica donde puedo encontrar el primer término y la razón común como yo te quiero a la suma de los infinitos términos, pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí?

Así que he seguido y tengo la serie aquí: $$\frac{1}{2}[e^{i\theta}-\frac{1}{2}(e^{i\theta})^2+\frac{1}{4}(e^{i\theta})^3...]$$ , Pero todavía no estoy seguro de por dónde continuar.

Answer 1

Insinuación:

Uso de Intuition detrás de la fórmula de Euler y el caso especial $e^{i\pi}=-1$

PS

Ahora para la proporción común $$\dfrac{(\cos t+i\sin t)^n(-1)^{n-1}}{2^n}=-\dfrac{e^{int}(e^{i\pi})^n}{2^n}=-\left(\dfrac{e^{i(t+\pi)}}2\right)^n$ de series geométricas,

$(r)$

Answer 2

SUGERENCIA

Tenemos que

$$C+es=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{2^k}e^{\left(ik\theta\right)} =-\sum_{k=1}^\infty\left(-\frac{e^{\left(i\theta\right)}}{2}\right)^k$$

a continuación, se refieren a la serie geométrica que tiene también para $r$ complejas $|r|<1$.

Answer 3

Sugerencia: considere la serie geométrica $$\sum_{n\geq0}(-\frac{z}{2})^n=\dfrac{1}{1+\frac{z}{2}}$ $ sobre $z=0$ .