$1+\frac {1}{4}(1+\frac {1}{4}) +\frac {1}{9}(1+\frac {1}{4} +\frac {1}{9})+....$

Question

Muestra que $$1+\frac {1}{4} \bigg(1+\frac {1}{4}\bigg) +\frac {1}{9} \bigg(1+\frac {1}{4} +\frac {1}{9}\bigg)+.....$ $

converge

¿Puedes encontrar el valor exacto de la suma?

Mi esfuerzo:

He probado la convergencia en comparación con $$\bigg(\sum _1^\infty \frac {1}{n^2}\bigg)^2$ $

No he averiguado la suma exacta.

¿¿Alguna sugerencia??

Answer 1

$$ 2S = \ sum_ {i \ leq j} \ frac {1} {i ^ {2} j ^ {2}} + \ sum_ {i \ geq j} \ frac {1} {i ^ {2} j ^ {2}} = \ left (\ sum_ {n \ geq 1} \ frac {1} {n ^ {2}} \ right) ^ {2} + \ sum_ {n \ geq 1} \ frac {1} {n ^ {4}} = \ frac {\ pi ^ {4}} {36} + \ frac {\ pi ^ {4}} {90} $$

Answer 2

Supongamos que $\sum_{i=0}^\infty a_i$ es absolutamente convergente la serie. Entonces (donde $i$ e $j$ rango en los números enteros no negativos)

$$2\sum_{i<=j} a_ia_j=\\ 2\sum_{i<j} a_ia_j+2\sum_{i=j} a_ia_j=\\ \sum_{i<j} a_ia_j+\sum_{i>j} a_ia_j+\color{verde}{2\sum_{i=j} a_ia_j}=\\ \left(\sum_{i<j} a_ia_j+\color{verde}{\sum_{i=j} a_ia_j}+\sum_{i>j} a_ia_j\right)+\color{verde}{\sum_{i=j} a_ia_j}=\\ \color{red}{{\sum_{i,j} a_ia_j}}+\color{blue}{\sum_{i=j} a_ia_j}=\\ \color{red}{\left(\sum_{i} a_i\right)^2}+\color{blue}{\sum_{i} (a_i)^2}.$$

Aquí la cuestión es resuelta por esta identidad de $\displaystyle a_i={1\over i^2}$.