Evaluando la integral$\int_0^1 \frac{\cos bx}{\sqrt{x^2+s^2} }dx$

Question

Realmente me encantaría para evaluar esta integral exactamente en términos de funciones conocidas, porque para grandes $b$ se convierte en un dolor numéricamente.

$$I(b,s)=\int_0^1 \frac{\cos bx}{\sqrt{x^2+s^2} }dx$$

No llegar a ninguna parte con la integración por partes, o de la serie. Quiero una expresión válida para grandes y pequeños valores de los parámetros.

Nota: se ha $b= \pi n$, donde $n$ es un número entero.

Para $s \gg 1$ podemos ampliar la raíz como una serie y obtener una buena aproximación. Sin embargo, este caso es de poca utilidad para mí, como en general $s$ es de la orden de $1$ o menor.

Así que aquí está mi último intento:

Editado

$$x=s \sinh v$$

$$I(b,s)=\int_0^{\sinh^{-1} \frac{1}{s}} \cos \left(bs \sinh v \right) dv$$

Vamos a tratar de integración por partes:

$$U=\cos \left(bs \sinh v \right) \\ dV=dv$$

$$dU=-bs\sin \left(bs \sinh v \right) \cosh v \\ V=v$$

$$I(b,s)=\cos b \sinh^{-1} \frac{1}{s}+bs \int_0^{\sinh^{-1} \frac{1}{s}} v \sin \left(bs \sinh v \right) \cosh v dv$$

$$I(b,s)=\cos b \sinh^{-1} \frac{1}{s}+bs \int_0^{\frac{1}{s}} \sinh^{-1} r \sin \left(bs r \right) dr$$

$$I(b,s)=\cos b \sinh^{-1} \frac{1}{s}+b \int_0^1 \sinh^{-1} \frac{x}{s} \sin \left(b x \right) dx$$

Esto parece un poco mejor, al menos hemos separado el caso especial $I(0,s)$, que es el primer término. No está seguro de cómo continuar.

Utilizando el hecho de que $b= \pi n$, podemos transformar la integral como:

$$b \int_0^1 \sinh^{-1} \frac{x}{s} \sin \left(b x \right) dx=\pi \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \int_0^1 \sinh^{-1} \left( \frac{t+k}{ns} \right) \sin \pi t dt$$

La función de $\sinh^{-1}$ es bastante bonito, tiene un crecimiento logarítmico, y no volar en cualquier lugar. Supongo que, este podría ser el camino para obtener una buena aproximación, especialmente porque tenemos una alternancia de suma.

Answer 1

El asintótica para grandes $n$ está determinado por el comportamiento de el integrando en $x = \pm 1$. La elección de un contorno que va en la dirección $i$ de $x = -1$ y luego en la dirección $-i$ hacia $x = 1$ y la expansión de la no-exponencial parte, tenemos $$\frac 1 {\sqrt {x^2 + s^2}} \bigg\rvert_{x = -1 + i \xi} = \frac 1 {\sqrt {1 + s^2}} + \frac {i \xi} {(1 + s^2)^{3/2}} + O(\xi^2), \\ \frac 1 {\sqrt {x^2 + s^2}} \bigg\rvert_{x = 1 + i \xi} = \frac 1 {\sqrt {1 + s^2}} - \frac {i \xi} {(1 + s^2)^{3/2}} + O(\xi^2).$$ Las contribuciones de los primeros términos se anulan, dejando $$I(\pi n, s) = \frac 1 2\int_{-1}^1 \frac {e^{i \pi n x}} {\sqrt {x^2 + s^2}} dx \sim i \int_0^\infty \frac {i \xi} {(1 + s^2)^{3/2}} e^{-i \pi n - \pi n \xi} d\xi = \\ \frac {(-1)^{n - 1}} {\pi^2 (1 + s^2)^{3/2} n^2}, \quad n \to \infty, \,n \in \mathbb N.$$

Answer 2

Obtención de una comprensión del problema original: queremos encontrar el comportamiento asintótico de los coeficientes de Fourier de $\frac{1}{\sqrt{x^2+s^2}}\in L^2(0,1)$. Desde la transformada inversa de Laplace de $\frac{1}{\sqrt{x^2+s^2}}$ es $J_0(as)$ y la transformada de Laplace de $\cos(\pi n x)\mathbb{1}_{(0,1)}(x)$ es $\frac{a}{a^2+n^2\pi^2}-\frac{a(-1)^n}{e^a(a^2+\pi^2 n^2)}$, tenemos

$$ \int_{0}^{1}\frac{\cos(\pi n x)}{\sqrt{x^2+s^2}}\,dx = \underbrace{\int_{0}^{+\infty}\frac{a J_0(as)}{a^2+\pi^2 n^2}\,da}_{K_0(\pi n s)} + (-1)^{n+1}\int_{0}^{+\infty}\frac{a J_0(as)}{e^a(a^2+\pi^2 n^2)}\,da $$ que es bastante fácil para aproximar numéricamente debido a los conocidos límites de funciones de Bessel.
Cerca del origen $J_0(a)$ puede ser aproximado a través de su rápida convergente la serie de Maclaurin, lejos del origen hemos Tricomi s $J_0(a)\approx\frac{\sin(a)+\cos(a)}{\sqrt{\pi a}}$. Para $K_0$ hemos de Hankel de expansión.

En particular, los coeficientes de Fourier de $\frac{1}{\sqrt{x^2+s^2}}$ caries como $\frac{1}{n^2 s^3}$.

También es interesante señalar una curiosa la desigualdad proporcionada por Cauchy-Schwarz:

$$\begin{eqnarray*}\left|\int_{0}^{+\infty}\frac{a J_0(as)}{e^a(a^2+\pi^2 n^2)}\,da\right|^2&\leq& \int_{0}^{+\infty}\frac{J_0(as)^2}{e^{2a}}\,da\int_{0}^{+\infty}\frac{a^2}{(a^2+\pi^2 n^2)^2}\,da\\&=&\frac{1}{8n\,\text{AGM}(1,\sqrt{1+s^2})}\leq\frac{1}{8n}(1+s^2)^{-1/4}.\end{eqnarray*}$$

Answer 3

Solo un comentario

La integral es la parte real de $$\int^1_0\frac{e^{ibx}}{\sqrt{s^2+x^2}}dx$$

Si hacemos una sustitución de $x=is\cos t$, sin tener que lidiar con cortes de ramas rigurosamente podemos obtener

$$-i\int^{\cos^{-1}(-i/s)}_{\pi/2}e^{-bs\cos t}dt$$

Esencialmente, $$I(b,s)=\Im~ \int^{\cos^{-1}(-i/s)}_{\pi/2}e^{-bs\cos t}dt $$ o $$I(b,s)=-\Im~ \int^{\sin^{-1}(-i/s)}_{0}e^{-bs\sin t}dt $$

lo que sugiere una relación con las funciones de Bessel. Sin embargo, debido a los límites superior e inferior no ser $\pm\pi$, las normales funciones de Bessel no puede ser utilizado. Creo que puede ser necesario definir algún tipo de "incompleta de la función de Bessel" para escribir la integral en forma cerrada.