¿Cuántos componentes conectados podría el cruce de $\{A \in M_n(\mathbb R): \rho(A) < 1\}$ y tienen un subespacio afín en $M_n(\mathbb R)$?

Question

Deje $\mathcal E = \{A \in M_n(\mathbb R): \rho(A) < 1\}$ donde $\rho(\cdot)$ es el espectro de radio y $\mathcal U$ ser afín espacio en $M_n(\mathbb R)$. Si asumimos $\mathcal E \cap \mathcal U \neq \emptyset$, ¿cuántos conectados los componentes de la intersección?

En la demostración de $\mathcal E$ está conectado, sé que podemos utilizar una ruta de acceso $(1-t)A + t 0$ pero si $B$ es en la intersección, $(1-t)B$ podría no estar garantizada en la intersección.

Answer 1

Esta es una elaboración en un comentario, que proporciona sólo un límite inferior en la cantidad de componentes que usted puede conseguir y sólo mirar unidimensional subespacio afín (también conocido como una línea).

El primer paso es buscar en la matriz $$A(t;a):=\begin{pmatrix}0&a\,t\\a\,(1-t)& 0\end{pmatrix},$$ que tiene radio espectral $|a|\sqrt{|t-t^2|}$. Los valores de $t$ para que el espectro de radio es $≤1$son $$\mathcal D(a):=[B_1(a), B_2(a)]\,\cup\,[B_3(a),B_4(a)].$$ (Para ser concretos, $B_1(a)=\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2a}$, $B_2(a)= \frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2a}$, $B_3(a) = \frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2a}$, $B_4(a)=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2a}$, pero estos valores no importa). Lo que importa es que usted tiene dos intervalos donde la brecha entre ellos se convierte arbitrariamente pequeño como $a\to2$. Además la longitud de los intervalos no crece unboundedly como $a\to2$.

Ahora mire la matriz $$\begin{pmatrix} A(c_1 t-d_1; a_1) & 0 \\ 0 & A(c_2 t-d_2; a_2)\end{pmatrix}.$$ Los valores de $t$ donde esta matriz tiene radio espectral $≤1$es $$(c_1\cdot\mathcal D(a_1)+d_1)\cap (c_2\cdot \mathcal D(a_2)+d_2).$$

La manipulación de $a_1,c_1,d_1$ tiene básicamente arbitraria de la libertad para sintonizar las siguientes cosas en $c_1\cdot\mathcal D(a_1)+d_1$:

1. La brecha entre los dos intervalos puede hacerse arbitrariamente pequeña (tune parámetro $a$).
2. La brecha se puede desplazar a cualquier lugar que desee (tune parámetro $d$).
3. La longitud de los intervalos puede hacerse tan grande como quieras.

Tenga en cuenta que el ajuste de la longitud de los intervalos altera la longitud de la brecha y la posición de la brecha. Claramente se puede corregir la posición de nuevo, pero también es importante tener en cuenta que puede corregir la longitud de la brecha (por lo que es más pequeño), ya que este procedimiento no va a reducir los intervalos más allá de un determinado factor.

Todo esto era sólo para dar un sonido de fondo a la pictórica historia que les voy a contar.

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Aquí es una abstracción de lo que usted puede dejar que los dos dominios desde antes de quedar como:

La intersección de estos dos parece:

Usted ve $3$ componentes. Ahora, si usted está buscando en $M_{2n}(\Bbb R)$ usted puede tomar un vistazo a la línea de $$\begin{pmatrix} A(c_1 t-d_1;a_1) &... &0\\ 0 &\ddots &\vdots \\ 0& ... &A(c_nt -d_n;a_n) \end{pmatrix}$$ y la intersección de esta línea con $\mathcal E$ va por la intersección de $n$ dominios con los parámetros dados. Un ejemplo de lo que puede ajustar para $M_8(\Bbb R)$ (ie $4$ dominios) es la siguiente imagen:

Esta historia es un límite inferior de $\lfloor n/2\rfloor$ en la cantidad de componentes que pueden lograrse con una línea.