Polígonos regulares con lado común

Question

Dado un segmento de $AB$ en el avión, dibujar todos los posibles polígonos regulares tener $AB$ como secundarios.

Es cierto que si una línea contiene una infinidad de vértices de los polígonos, entonces la línea que contiene a$A$o $B$, o el punto medio de la $AB$?

Answer 1

Si nos fijamos en los polígonos con $4n$ lados ($n\ge 2$)

Llegamos cerca de encontrar una línea donde todos los polígonos tienen un vértice en esa línea, y la línea que pasa a través de la ni A, B ni el punto medio de AB. No es exacto, pero en matemáticas que las apariencias pueden ser engañosas.

Answer 2

Respuesta parcial, demasiado largo para un comentario:

Esto es realmente sólo un intento de establecer lo que estamos tratando de resolver en términos de números complejos, donde la colinealidad pueden ser más fáciles de describir, etc. $ \newcommand{\i de}{\mathbf{i}}$ Si rotamos 90 grados, y el trabajo en el plano complejo, colocando $A$ a $+\i$ e $B$ a $-\i$, y sólo se ven en la mitad derecha del plano-(porque...la simetría!), a continuación, el polígono de los centros están en la recta real. El centro de polígono $n$ está en $$ c_n = \sec \frac{\pi}{n} + 0 \i $$ y el $k$th punto de que el polígono es en $$ u_{n,k} = c_n + (\sec \frac{k\pi}{n} + \i \csc \frac{k\pi}{n}). $$