Paradoja de los gemelos en el espacio-tiempo curvo

Question

En un espacio plano, donde funciona la relatividad especial, un cuerpo que se desplaza sólo puede volver al mismo punto si le aplicamos algún tipo de aceleración.

Así que la paradoja de los gemelos no es una paradoja porque un cuerpo que viaja y vuelve al mismo punto en el que empieza no es una referencia inercial.

Pero luego tenemos la relatividad general, que afirma que la masa (energía) curva el espacio-tiempo. Así que cuando un fotón cambia su trayectoria al pasar cerca del sol, en realidad se está moviendo en línea recta, pero en un espacio-tiempo curvado.

Ahora podemos crear una nueva versión de la paradoja de los gemelos, en la que la nave espacial que transporta a uno de los gemelos utiliza la curvatura de algún cuerpo astronómico (como Júpiter, el sol o un agujero negro) para volver al mismo punto?

En ese caso, ¿qué gemelo será mayor?

¿Cómo resolver la paradoja en este contexto?

Answer 1

En ese caso, ¿qué gemelo será mayor?

Cada gemelo experimenta un tiempo propio $\int ds$ donde la integral se toma a lo largo de su línea de mundo. En general, esto es todo lo que podemos decir. Sin embargo, en el caso de un espaciotiempo estático, se puede definir un potencial gravitatorio y luego analizar el tiempo propio en términos de dos términos, un término cinético (relativista especial $\gamma$ ) y uno gravitacional (proporcional al potencial).

¿Cómo resolver la paradoja en este contexto?

La paradoja de la RS se produce si asumimos, erróneamente, que hay simetría entre los gemelos. La paradoja de SR se resuelve porque las líneas del mundo son diferentes. La simetría falla porque son distinguibles: sólo una de ellas es inercial.

La versión de la RG que has planteado se resuelve de la misma manera: las líneas del mundo son distinguibles (aunque ambas son inerciales), por lo que integrar $\int ds$ a lo largo de ellas da diferentes respuestas. Por ejemplo, uno podría orbitar la tierra 47 veces en una órbita elíptica, mientras que el otro la orbita 10 veces en una órbita circular. Las órbitas se cruzan al principio y al final.

Answer 2

En primer lugar, no hay nada sorprendente o paradójico en dos trayectorias geodésicas de $A$ a $B$ con diferentes longitudes. Desde un punto en el ecuador, puedes dar 1/4 de la vuelta al mundo hasta el Polo Norte, mientras que tu gemelo da 3/4 de la vuelta al mundo hasta el Polo Norte. Aunque ambos empiecen y se detengan en los mismos lugares, sus cuentakilómetros muestran longitudes diferentes para su viaje.

Del mismo modo, si dos viajeros toman caminos geodésicos diferentes de un evento a otro, no hay razón para que esos dos caminos tengan la misma longitud. Un reloj es un cuentakilómetros del espaciotiempo, así que no hay razón para que sus relojes muestren el mismo tiempo transcurrido. ¿Qué gemelo es más viejo? El que siguió el camino más largo a través del espaciotiempo. Sigue sin haber paradoja.

Se ha sugerido en los comentarios que podría haber una paradoja en el "hecho" de que el reloj de Bob siempre va lento en el marco de referencia (fijo) de Alice y viceversa. Pero estamos en un espaciotiempo curvo, por lo que no hay marcos de referencia globales.

Así que me queda la duda de dónde se supone que está la supuesta "paradoja".

Answer 3

Paradoja, sustantivo Una afirmación o proposición aparentemente absurda o contradictoria que, al ser investigada o explicada, puede resultar bien fundada o verdadera.

La Paradoja de los Gemelos es sin duda eso.

Antes de introducir la relatividad general (RG) en la mezcla, es importante entender exactamente qué es la paradoja, ya que es mucho más que una simple asimetría entre las líneas del mundo de los gemelos.

En la formulación más sencilla del problema (y ya que se trata de un experimento mental: ¿para qué complicarlo?), el gemelo A se queda en casa, en su piscina fija, entrenando, mientras que el gemelo B sale a correr a una velocidad cercana a la de la luz. (Utilizo a los triatletas por el perfil del PO).

Durante el recorrido del maratón, el gemelo A ve cómo el gemelo B envejece más lentamente. Mientras tanto, el gemelo B ve que el gemelo A envejece más lentamente. Esto ya es una paradoja para algunos, pero se resuelve fácilmente con la transformación de Lorentz.

Ahora llega la parte más importante del entrenamiento: la transición de la carrera a la bicicleta. Twin B es bueno, puede hacerlo en 0 segundos. Así de fácil se dirige a casa en su Zipp, casi a la velocidad de la luz. El gemelo A mira hacia fuera y está de acuerdo: vaya, ese intercambio duró 0 segundos; de hecho, todos los observadores están de acuerdo en que fue instantáneo.

En el viaje de vuelta a casa, el gemelo A ve que el gemelo B envejece más lentamente, y viceversa; sin embargo, cuando se encuentran, el gemelo B es mucho más joven.

Ahora que es una paradoja: si siempre ven que el otro envejece más lentamente:

(1) ¿Cómo puede ser eso en cualquier caso?

(2) ¿cómo es que el gemelo B ha envejecido menos?

La gente dice que es una asimetría, o que hay aceleración. Todo es cierto: pero el tiempo de transición transcurrido fue de 0 segundos en cada fotograma. ¿Cómo pueden los cero segundos en cada fotograma explicar los años de diferencia entre los fotogramas?

La resolución viene de la mano de la relatividad de la simultaneidad: cuando el gemelo B hace la transición, su definición del "ahora" en la Tierra da un gran salto hacia adelante: años. Como todo esto ocurre fuera de su cono de luz, no tiene ningún efecto sobre él: se da la vuelta y "calcula" que, fuera de su cono de luz, su hermano es ahora mucho mayor, y cuando llega a casa, descubre que tenía razón.

En resumen: A y B siempre se ven envejecer más lentamente. Cuando B se da la vuelta, A dice que su reloj avanza 0 segundos, y él dice que el reloj de B avanza 0 segundos (aunque B está muy lejos de su cono de luz, y sólo se entera de esto más tarde). Mientras tanto, B dice que su reloj avanza cero segundos, pero calcula que el reloj de A ha avanzado años. Ahora bien, para B esto puede parecer totalmente una abstracción, como la paradoja de Andrómeda: cuando cuelga un giro en U en la autopista, el "ahora" de Andrómeda puede cambiar de año, pero qué significa eso para usted: nada.

Utilizar el espacio-tiempo curvo para reducir las fuerzas g durante la transición de la carrera a la bicicleta no tiene ningún efecto sobre la paradoja.

Answer 4

Consideremos una versión ligeramente más realista en la que el cambio de rumbo se produce con una aceleración alta pero finita para evitar cualquier discontinuidad no física.

Entonces, ¿cómo se consigue el cambio de rumbo del hermano que se mueve? En realidad sólo hay una opción: vuela en una semiorbita parabólica alrededor de un cuerpo extremadamente pesado.

Eso significa que desciende a un pozo gravitacional cerca de la periapsis, y debido a dilatación gravitacional del tiempo su tiempo se ralentiza y ve cómo su hermano estático envejece rápidamente.

Nótese que en la relatividad especial cuando se acelera, se ve que el tiempo fluye más rápido por delante de uno en la dirección de la aceleración, que es como el hermano en movimiento ve envejecer al hermano estático durante la inversión del rumbo. Y como la relatividad general se define a partir de la relatividad especial por la equivalencia entre el campo gravitatorio uniforme y la aceleración del marco de referencia, es lógico esperar que la dilatación del tiempo sea la misma en ambos casos.