Cálculo (integración)

Question

Hay una forma sencilla de integrar $\displaystyle\int\limits_{0}^{1/2}\dfrac{4}{1+4t^2}\,dt$

No tengo ni idea cómo hacerlo. La fracción en el denominador es lo que me está confundiendo. Traté de sustitución U no sirve para nada.

Answer 1

$$\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{4}{1+4t^2} dt$$

Fijamos $t=\frac{\tan{u}}{2}$ tenemos las siguientes:

$t=0: u=0$

$t=\frac{1}{2}: u=\frac{\pi}{4}$

$dt=\frac{1}{2 \cos^2{u}}du$

$$\frac{4}{1+4t^2}=\frac{4}{1+4 \frac{\tan^2{u}}{4}}=\frac{4}{1+\tan^2{u}}=\frac{4 \cos^2{u}}{\sin^2{u}+\cos^2{u}}=4 \cos^2{u}$$

Por lo tanto, tenemos los siguientes:

$$\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{4}{1+4t^2} dt=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2 du=2\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$

Answer 2

% de dejar $$ $$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{4}{4t^2+1}\ dt $u=2t$, $$ \frac{d}{dt}u=\frac{d}{dt}[2t]=2 \Rightarrow du = 2\ dt $ $ $$ \int_0^1 \frac{2}{u^2+1}\ du = du \int_0^1 \frac{1}{u^2+1}\ 2 = 2\arctan u\bigg | _0 ^ 1 $$ $$ = 2\arctan 1 - 2\arctan 0 = 2\frac {\pi} {4}-0 = \frac {\pi} {2} $

Answer 3

Una forma distinta de encontrar este integral es la siguiente:

$\displaystyle\int{0}^{\frac{1}{2}}\frac{4}{4t^2+1}\; dt=\frac{4}{4}\int{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{t^2+\frac{1}{4}}\;dt=\frac{1}{\frac{1}{2}}\left[\arctan\frac{t}{\frac{1}{2}}\right]{0}^{\frac{1}{2}}=2\left[\arctan 2t\right]{0}^{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle=2(\arctan1-\arctan0)=2(\frac{\pi}{4}-0)=\frac{\pi}{2}$, $\;\;$ utilizando la fórmula $\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$.