¿Cómo demostrar que una matriz sesgar-simétrica con entradas entero tiene un determinante que es un cuadrado de un entero?

Question

Posibles Duplicados:
El determinante de una real sesgo de simetría de la matriz es cuadrada de un número entero

Sé que, en general, un sesgo de simetría de la matriz con indeterminada elementos tiene un factor determinante que puede ser escrito como una plaza de algunas multivariable polinomio. Cómo probar esto?

Y si yo no sé nada acerca de la Pfaffian, puedo probar la afirmación de que un sesgo de simetría de la matriz con el entero de las entradas tiene un factor determinante que es un cuadrado de un número entero? Me refiero a que si alguien sabe cómo demostrarlo sin el uso de la Pfaffian?

Answer 1

Esto es para la segunda parte, un sesgo de simetría de la matriz con el entero de las entradas

En primer lugar, si $n$ es impar, entonces a partir de la $\det(A) = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$, lo $\det(A)= 0$, que es el cuadrado de un entero.

Ahora para$n$, incluso, procedemos por inducción, y que va a mostrar que la afirmación es verdadera sobre los racionales. Caso Base $n=2$ es obvia.

En línea de Edición: Inducción paso. Supongamos que queremos demostrar que para algunos $n=2k+2$. En cuenta las entradas. Ya sabemos que las diagonales satisfacer $a_{i, i} = 0$. Si todas las otras entradas también son 0, entonces hemos terminado. De lo contrario, WLOG tenemos $a_{1,2}\neq 0$. Vamos a proceder a calcular el determinante de a $A$. final de edición

Utilizando sólo la fila de operaciones, donde podemos añadir un racional lineal múltiple de la segunda fila a los demás, podemos hacer la primera columna de a $(0, a_{2, 1}, 0, 0, \ldots, 0)^T$. Específicamente, para la fila $k\neq 1, 2$,$b_{k, i} = a_{k, i} - \dfrac {a_{k, 1}}{a_{2, 1}} a_{2,i}$. Ahora, hacemos uso de operaciones de columna, donde podemos añadir un racional lineal múltiple de la segunda fila a los demás, y podemos hacer la primera fila $(0, a_{1, 2}, 0, 0, \ldots, 0)$. Específicamente, para la columna de $k\neq 1, 2$,$c_{i, k} = b_{i, k} - \dfrac {b_{1, k}}{b_{1, 2}} b_{i, 2}$. A continuación, $\det(A) = a_{1, 2}^2 \det(C)$, y así queda por mostrar que $C$ es todavía un sesgo matriz simétrica.

Para las filas y las columnas 1 y 2, nada ha cambiado en todo, (de modo que las entradas son desfase simétrica).
Para $i=k$, $b_{i,i} = 0- \dfrac {a_{i,1}}{a_{2,1}}a_{2,i}$, $c_{i,i} = b_{i,i} - \dfrac {b_{1,i}}{b_{1, 2}} b_{i, 2} = (0 - \dfrac {a_{i,1}}{a_{2,1}}a_{2,i})- \dfrac {a_{1,i}}{a_{2,i}} a_{i,2}=0$

Para $i\neq k$, $c_{i,k} = b_{i, k} - \dfrac {b_{1, k}}{b_{1, 2}} b_{i, 2} = b_{i, k} - \dfrac {a_{1, k}}{a_{1, 2}} a_{i, 2}= (a_{i, k} - \dfrac {a_{i, 1}}{a_{2, 1}} a_{2,k})- \dfrac {a_{1, k}}{a_{1, 2}} a_{i, 2}$. Por lo tanto, se deduce que el $c_{i,k}=-c_{k,i}$.

Por lo tanto, $C$ es un sesgo matriz simétrica.

Ahora, $A$ tiene un número entero determinante, que es también el cuadrado de un número racional, por lo tanto es un cuadrado perfecto.