Local, la trivialidad de los principales paquetes

Question

Supongamos que definen una entidad de $G$-bundle como un mapa de $\pi: P \to M$, con una suave acción correcta de $G$ $P$ que actúa libremente y transitivamente sobre las fibras de $\pi$. De lo anterior se sigue que el $P$ es localmente isomorfo a $M \times G$ con el derecho obvio acción de $G$$M \times G$? Supongamos $M$ es un colector.

Sé que haces de fibras a través de una contráctiles conjunto son triviales y un colector es localmente contráctiles, pero creo que estas declaraciones se refiere a localmente trivial haces de fibras y por lo tanto no se aplica a este caso.

Una pregunta relacionada es: si tenemos un fibration tal manera que la base del espacio es contráctiles y todas las fibras son homeomórficos, ocurre que el fibration es sólo el producto de la base con la fibra?

Gracias!

Answer 1

Para la primera pregunta, sí, al menos si que suponga $P$ es un buen colector y, digamos, $G$ es una Mentira grupo. Para la directora $G$-paquetes con su definición, así como con la normal, siendo trivial es la misma que la admisión de una sección (en la sección de es $s$, mapa de $s(x)$ ( $x$ , unidad de $G$), y el uso de la acción para definir el resto de la banalizar el mapa). Ahora la construcción de una sección a nivel local, cerca de $x_0$ cualquier $s(x_0)$ en la fibra por encima de $x_0$. Escoge un auxiliar de Riemann métrica cerca de tomar el subespacio ortogonal a la recta tangente de la fibra en $s(x)$. Exponencial mapa le dará una sección de local.

En otras categorías que usted necesita para la construcción de la sección $s$ en una manera diferente. Creo que esto puede ser hecho en la categoría de topológica de los colectores. No estoy seguro acerca de los casos más generales, pero parecería aceptar. Tal vez para CW complejos usted puede ir celda por celda?