Serie Laurent para $1/(e^z-1)$

Question

Intentando calcular los cinco primeros coeficientes de la serie de Laurent para $$\frac{1}{e^z-1}$$ centrado en el punto $0$ . No veo la forma de utilizar la serie geométrica debido a la exponencial. ¿Alguna idea?

Answer 1

Puede hacerlo formalmente. Desde $\frac{1}{e^z-1}$ tiene un polo simple en $0$ debe tener una serie de Laurent sin coeficiente de $z^k$ para $k<-1$ . Si el coeficiente de $z^k$ es $a_k$ entonces debemos tener

$$\left(\frac{a_{-1}}{z}+a_0+a_1z+a_2 z^{2} + a_3z^3+ O(z^4)\right)\left(z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+O(z^6)\right)=1$$

y puedes multiplicar esto e igualar los coeficientes para encontrar los valores del $a_i$ . Por ejemplo, igualando los coeficientes de orden cero se obtiene inmediatamente $a_{-1}=1$ . Igualando los coeficientes de orden uno se obtiene $\frac{a_{-1}}{2}+a_0=0$ Así que $a_0=-\frac{1}{2}$ . Igualando los coeficientes de orden dos se obtiene $\frac{a_{-1}}{6}+\frac{a_0}{2}+a_1=0$ y así $a_1=-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ etc.

Answer 2

Considera que $e^z-1$ tiene un cero simple en $z=0$ , ya que: $$\lim_{z\to 0}\frac{e^z-1}{z}=1.$$ Esto da que $z=0$ es un polo simple para $f(z)=\frac{1}{e^z-1}$ con residuos $1$ Por lo tanto $$g(z)=\frac{1}{e^z-1}-\frac{1}{z}$$ es una función holomorfa en una vecindad de cero.

Los coeficientes de la serie de Taylor de $g(z)$ dependen de los números de Bernoulli, ya que tenemos: $$\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n\geq 0}\frac{B_n}{n!}z^n,$$ dando:

$$\frac{1}{e^z-1}=\frac{1}{z}+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_{n+1}}{(n+1)!}z^n.$$