Cálculo del valor esperado para la distribución normal al cuadrado.

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema. Supongamos que$Z=N(0,s)$ es decir, variable aleatoria normalmente distribuida con desviación estándar$\sqrt{s}$. Necesito calcular$E[Z^2]$. Mi intento es hacer algo como \begin{align} E[Z^2]=&\int_0^{+\infty} y \cdot Pr(Z^2=y)dy\\ =& \int_0^{+\infty}y\frac{1}{\sqrt{2\pi s}}e^{-\frac y{2s}}dy\\ =&\frac{1}{\sqrt{2\pi s}}\int_0^{\infty}ye^{-\frac y{2s}}dy. \end {align}

Al utilizar la integración por partes obtenemos

PS

Por lo tanto,$$\int_0^{\infty}ye^{-\frac y{2s}}dy=\int_0^{+\infty}2se^{-\frac y{2s}}dy=4s^2.$ que no coincide con la respuesta en el texto. ¿Alguien puede señalar el error?

Answer 1

Esto es viejo, pero siento que una fácil derivación está en orden.

La varianza de cualquier variable aleatoria$X$ puede escribirse como $$ V [X] = E [X ^ 2] - (E [X]) ^ 2 $$

Resolviendo la cantidad necesaria, se obtiene $$ E [X ^ 2] = V [X] + (E [X]) ^ 2 $$

Pero para nuestro caso,$E[X] = 0$, entonces la respuesta de$\sigma^2$ es inmediata.

Answer 2

La respuesta es $s = \sigma^2$. La integral que quieres evaluar es

PS