Aquí están algunos ejercicios de Rotman del libro (álgebra homológica).
$1$. Mostrar que $\textbf{Top}$ no tiene ningún cero de objeto.
Deje $X$ ser un objeto de cero en $\textbf{Top}$, entonces como X es inicial y $\emptyset$ es un espacio topológico, entonces existe un único mapa continuo $f: X \rightarrow \emptyset$. Por lo tanto, $X$ es el conjunto vacío, ya que $f$ es el vacío de la función (que es continuo).
Por otro lado, desde la $X$ es terminal, no-vacío espacio topológico $Z$. Por lo tanto no hay un único mapa continuo $f: Z \rightarrow \emptyset$, pero no hay tal función desde $Z \neq \emptyset$.
$2$. Demostrar que el cero del anillo no es un objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos.
Podemos simplemente decir: supongamos que hay un anillo homomorphism $f: 0 \rightarrow \mathbb{Z}$ donde $0$ denota, por abuso de notación, el cero del anillo. Por un lado $f(0)=1$ porque $f$ conserva la unidad e $0=1$ en el cero del anillo. Pero por otro lado, $f(0)=0$ $0=1$ $\mathbb{Z}$ lo cual es absurdo.
Es correcto esto? gracias por su tiempo y ayuda.
