Índice Morse y característica de Euler.

Question

He encontrado el siguiente problema y no pude resolverlo. Que $X$ ser un colector compacto y $f$ una función de Morse (todos sus puntos críticos son no degenerado) en $X$. Demostrar que la suma de los índices de Morse de $f$ en sus puntos críticos es al Euler característico de $X$. El % de índice de Morse $ind_{x}(f)$se define como el signo del determinante del Hessian de $f$ $x$, donde $x$ es un punto crítico no degenerado. ¿Alguien tiene una idea? Gracias.

Answer 1

No sé qué libro están utilizando, pero esto no es un ejercicio estándar. Esto es un teorema de renombre para que la prueba, o al menos la que conozco, diez niveles de la inteligencia sobre un ejercicio estándar. De hecho, este teorema es probablemente uno de los más brillantes logros de un curso de teoría de Morse estándar. Este es el teorema de Poincare-Hopf, puedes encontrar más aquí.