Teoremas más profundos con las pruebas más simples.

Question

¿Cuáles son los teoremas más profundos con las pruebas más elementales?
Doy dos ejemplos:
i) Proof_of_the_Euler_product_formula_for_the_Riemann_zeta_function
ii) Prueba de que el problema de detención es indecidible mediante diagonalización

Answer 1

Estos tal vez no son muy profundas, pero son los primeros que vienen a la mente.

1. La irracionalidad de $\sqrt{2}$ por la contradicción.
2. Uncountability de los reales por diagonalización.
3. La existencia de gráficos con arbitrariamente alto de la circunferencia y cromática número por el método de probabilidades.

Answer 2

Creo que uno no debe confundir "importante "profundo". Los hechos que $\sqrt{2}$ es irracional, que no hay surjective mapa de $X\to2^X$, o sea que hay una infinidad de números primos, son sin duda importantes, o incluso "fundamental", pero las pruebas son tan simples que uno no puede llamar a ellos "profundo". Un teorema es "profundo" cuando su prueba es muy duro y, sobre todo, requiere de una teoría que trasciende la esfera, el problema es formulado. Considere, por ejemplo, Gauss teorema acerca de que regular $n$-ágonos puede construirse con regla y compás.