Cambiando el espectro de una matriz simétrica por perturbaciones diagonales.

Question

Dada una matriz simétrica fija$S$, ¿se puede cambiar el espectro de$S$ a cualquier conjunto deseado de valores propios$\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ al agregar una matriz diagonal$D$ a$S$?

Answer 1

Deje $A$ una matriz simétrica sobre los reales y deje $B$ ser una matriz simétrica sobre los reales así que añadimos a $A$ obtener $\tilde{A}=A+B$. Deje $B=S \Lambda_B S^{-1}$ ser el eigendecomposition de $B$. A continuación,$\tilde{A} = S\left(S^{-1}AS + \Lambda_B\right)S^{-1}$. Desde que vemos que los autovalores de a $\tilde{A}$ son precisamente los valores propios de $S^{-1}AS + \Lambda_B$. Desde los autovalores de a $S^{-1}AS$ son idénticas a las de los de $A$, vemos que, para el propósito de espectro de modificación, que perder no generalidad si nos perturban $A$, con una diagonal de la matriz inicial.

Así que vamos a considerar $\tilde{A}=A+B$ donde $B$ es diagonal.

Suponiendo que no hay estructura específica en $A$, la respuesta a la pregunta "¿qué es el espectro de $\tilde{A}$" no sabe, a lo mejor de mi conocimiento. En su lugar, existen algunas interesantes teoremas que dan información acerca de la distribución del espectro de $\tilde{A}$ con respecto a la de $A$$B$.

Los más interesantes para mí, son dos teoremas por el gran Hermann Weyl, conocido como Weyl 1 y Weyl 2. Deje que los autovalores de a $A$ pedirse como $\lambda_1(A) \le \lambda_2(A) \cdots \le \lambda_n(A)$ y lo mismo para las otras matrices. Entonces

(Weyl 1)

$\lambda_k(A)+\lambda_1(B) \le \lambda_k(A+B) \le \lambda_k(A) + \lambda_n(B)$

y

(Weyl 2)

$\lambda_{j+k-n}(A+B) \le \lambda_j(A) + \lambda_k(B) \le \lambda_{j+k-1}(A+B)$

cuando interpretamos un autovalor correspondiente a un índice mayor que n como el más infinito y menos de 1 como menos infinito.

Answer 2

Schmuel Friedland demuestra en "Matrices con elementos fuera de la diagonal prescritos" ( http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02762620 ) que, dada la matriz M-n sobre n sobre \ mathbb {C}, existe una matriz diagonal (también tomada sobre \ mathbb {C}) tal que M + D tiene exactamente los valores propios que desea.

No conozco ningún resultado relacionado específico con una matriz simétrica real n-por-n.

Answer 3

Si$S$ es simétrico y$D$ es diagonal, entonces$S+D$ es simétrico, por lo que sus valores propios son reales, por lo tanto, si su "conjunto deseado" contiene algún número no real, seguramente quedará decepcionado.

Answer 4

Por favor lea el documento "Panales y sumas de matrices hermitianas" por A. Knutson y T. Tao