Definición de bola abierta en un espacio métrico discreto

Question

Me gustaría que me ayudaran a aclarar la definición de bolas abiertas en el espacio métrico discreto.

La definición que me proporcionan es:

Bolas abiertas en el espacio métrico discreto $M = (X,d_0) $ vienen dadas por $B_\epsilon(x) = \left\{\begin{matrix} \{x\} & \epsilon \leq 1\\ X & \epsilon > 1 \end{matrix}\right. $

Mi pregunta:

¿Por qué no es así? $B_\epsilon(x) = \left\{\begin{matrix} \{x\} & \epsilon < 1\\ X & \epsilon \geq 1 \end{matrix}\right. $

Mi razonamiento es porque los puntos que se encuentran en la frontera no se encuentran en $B_\epsilon(x)$ y debe considerarse que NO forma parte de ella. ¿O me estoy perdiendo algo?

Muchas gracias.

Answer 1

Su razonamiento es correcto. Piensa en $\mathbb R^2$ con la métrica euclidiana habitual. Una bola abierta no contiene su límite.

En general, el balón abierto $B_r(x_0)$ en un espacio métrico $(X,d)$ se define como $$B_r(x_0) := \{x \in X : d(x_0,x)<r\}$$

Answer 2

Tienes razón. Por la propia definición de $\def\eps{\varepsilon}B_\eps(x)$ tenemos $$ B_\eps(x) = \{y \in X : d(x,y) < \eps\} $$ por lo que $$ B_1(x) = \{y \in X : d(x,y) < 1 \} $$ Ahora los puntos con distancia $1$ a $x$ (es decir, todos los puntos menos $x$ ), no pertenecen a $B_1(x)$ .