¿Una construcción explícita de una función real en todas partes discontinua con $F((a+b)/2)\leq(F(a)+F(b))/2$?

Question

Me gustaría saber un método explícito sobre la construcción de un en todas partes discontinuas función real $F$ con la propiedad: $$F((a+b)/2)\leq(F(a)+F(b))/2.$$

Hay un no-constructiva ejemplo (con la desigualdad sido trivial):

Tomar una base de Hamel $S$ de la $\mathbb{Q}$-espacio lineal $\mathbb{R}$, tomar en $S$ un countably-infinito subconjunto $X=\{x_1, x_2, ...\}$, luego por la multiplicación de un número racional $c_n$ $x_n$por cada $n$ que puede producir un conjunto $Y=\{y_1, y_2, ...\}$$0< y_n\leq1/n$. Ahora vamos a reemplazar el $X$ $S$ $Y$ y obtener una nueva base de Hamel $T$. Tomar una $t_0\in T$; deje $F(t_0)=0$ y deje $F(t)=1$ para cualquier otro$t\in T$, $F$ se extiende a una función en $\mathbb{R}$ lineal, y es claro que esto es una función requerida.

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Por la respuesta de Conifold a continuación, un método explícito no existe. Pero también sería bueno saber cómo dar un no-función constructiva con la desigualdad sido estricta.

Answer 1

No constructiva ejemplo existe. Funciones de la satisfacción de esta desigualdad se llama punto medio convexo. Lebesgue medibles funciones que son de medio punto convexo será convexa por una Sierpinski Teorema, por lo tanto, no sólo continua, diferenciable en todos, pero countably muchos puntos.

Hay un modelo de la teoría de conjuntos, llamados Solovay modelo, donde todos los axiomas son satisfechos, excepto por el axioma de elección, sino que cada función es Lebesgue medible. En este modelo, las funciones convexas será el punto medio convexo. Por lo tanto, la existencia de todas partes discontinuas punto medio de las funciones convexas sólo puede ser comprobado con el axioma de elección, es decir, no de manera constructiva.