$\nexists \ (u, v)$ tal que $v \circ u - u \circ v = Id_E $

Question

Sea $E$ un espacio vectorial no nulo normado.

Demuestra que no existen funciones lineales continuas $u$ y $v$ tales que $v \circ u - u \circ v = Id_E$.

Ver la respuesta abajo.

Answer 1

El caso de dimensión finita es fácil, ya que si $E$ está sobre los números reales, entonces las funciones lineales $u, v : E \to E$ (con elección de base) son simplemente matrices cuadradas con dimensión igual a la dimensión de $E$ y entradas reales. Pero la propiedad de traza afirma que $tr(uv-vu) = 0$, así que si $(uv-vu) = I$ entonces las trazas de ambos lados tienen que coincidir, y esto no sucede.

Sin embargo, esto no sucede en dimensiones infinitas: por ejemplo, se puede ver que si tomamos el espacio vectorial de funciones infinitamente diferenciables en $\mathbb R$ con soporte compacto (como ejercicio, muestra que este espacio no es de dimensión finita, encontrando explícitamente, muchas funciones linealmente independientes en este espacio vectorial), entonces los operadores dados por $(\mathbf x(\psi))(y) = y \psi(y)$ y $(\mathbf p(\psi))(y) = -\frac{\partial \psi}{\partial x}(y)$ realmente satisfacen la relación $\mathbf{xp} -\mathbf{px} = I$. Esto se ve tomando una función $\psi$, y observando:

$$ (\mathbf{px})(\psi)= \mathbf{p}(y \psi) = -\psi - y(-\mathbf p \psi) = -\psi + (\mathbf{xp})(\psi) \implies I = \mathbf{xp} - \mathbf{px} $$

Es decir, la propiedad de traza no se cumple aquí.

Sin embargo, todavía hay una resolución del problema para espacios vectoriales suficientemente regulares en dimensiones infinitas: se llama el teorema de Stone Von-Neumann, y establece que, aproximadamente, lo anterior, bajo algunas condiciones de equivalencia, es el único ejemplo en este tipo de espacio vectorial.

No puedo continuar explicando el contenido del resultado, desafortunadamente, ya que implica algunos términos bastante difíciles de conocer de antemano.

EDICIÓN: Esta respuesta de Mariano Suarez-Alvarez será útil para entender el contenido del teorema: Solutions to the matrix equation $\mathbf{AB-BA=I}$ over general fields

Answer 2

Respuesta a la pregunta:

Por inducción $\forall \ n \in \mathbb N\ \ \ v \circ u^{n+1} - u^{n+1} \circ v = (n+1)u^n $.

Define $\| u\|$, norma algebraica.

$\forall \ n \in \mathbb N, \ (n+1)\| u^n\|≤2\| v\| \| u^{n+1}\|$

Por lo tanto $\forall \ n \in \mathbb N, \ (n+1)\| u^{n+1}\|≤2\| v\|\| u\| \| u^{n+1}\| $

Si $\forall \ n \in \mathbb N, \ u^{n+1} \neq 0$, hay una contradicción con la última desigualdad.

Entonces $\exists \ n \in \mathbb N, \ u^{n} \neq 0$ y $u^{n+1} = 0 \ $ contradicción con la primera igualdad.