Un difeomorfismo local puede asignar un punto de límite a un punto interior

Question

Me gustaría encontrar un ejemplo de un difeomorfismo local entre variedades lisas con límite que mapea algún punto de límite a un punto interior.

Estoy bastante seguro de que tal ejemplo existe.

Answer 1

Decir que $f\colon M\to N$ es un local diffeomorphism significa que cada punto de $M$ tiene un vecindario $U$ tal que $f(U)$ está abierto en $N$ $f|_U$ es un diffeomorphism de $U$ a $f(U)$.

Teorema. Si $M$ $N$ son suaves colectores con el límite y $f\colon M\to N$ es un local diffeomorphism, a continuación,$f(\partial M)\subseteq \partial N$.

Prueba. Supongamos por contradicción que existe un punto de $p\in \partial M$ tal que $f(p)\in \operatorname{Int} M$. Deje $U$ $V$ ser abierto barrios de $p$ $f(p)$ respectivamente, tal que $f|_U\colon U\to V$ es un diffeomorphism.

Debido a $p\in\partial M$, existe un vector $v\in T_pM$ que no es tangente a $\partial M$. Esto significa, en particular, que no hay ninguna curva suave $\gamma\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ tal que $\gamma(0)=p$$\gamma'(0)=v$. Deje $w = df_p(v) \in T_{f(p)}N$. Debido a $f(p)$ es un punto interior de a $N$, hay una curva suave $\gamma\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to V$ tal que $\gamma(0) = f(p)$$\gamma'(0) = w$. A continuación, $\tilde\gamma = f^{-1}\circ \gamma$ es una curva suave en $M$ tal que $\tilde\gamma(0)=p$$\tilde\gamma'(0) = v$, lo cual es una contradicción. $\square$

Al $M$ $N$ ambos han vacío límites (y de la misma dimensión), es fácil mostrar mediante el teorema de la función inversa, que un suave mapa de $f\colon M\to N$ es un local diffeomorphism si y sólo si es una inmersión (un mapa cuyo diferencial es inyectiva en cada punto). Pero en el caso de no vacío límites, esto no es cierto. Hay un montón de ejemplos (tales como los descritos por Andrew Hwang) de lisa inmersiones que tomar puntos de límite a los puntos del interior, pero no son locales diffeomorphisms.

Answer 2

Sea$M$ una variedad diferenciable con límite. Deje que$S$ sea un submanidold con un límite tal que$\partial S\neq \partial M$, y deje que$i:S\rightarrow M$ la inmersión de$S$ en$M$. Luego, algunos puntos de límite van a puntos internos de$M$.