La solución de $(z+1)^5 = z^5$

Question

La pregunta dice que para resolver esta ecuación: $(z+1)^5 = z^5$

Yo hice. Solo quiero saber si lo hice correctamente y si mi ejecución, alrededor de la lógica tiene sentido.

Primero empiezo mi forma de escribir la ecuación como:

$$ (z+1)^5 = z^5$$ $$ \mathbf{e}^{5 \mathbf{Log}(z+1)} = \mathbf{e}^{5 \mathbf{Log}(z)} $$ Por lo $$ \mathbf{Log}(z+1) = \ln|z+1| + \mathbf{Arg}(z+1)i $$ $$ \mathbf{Log}(z) = \ln|z| + \mathbf{Arg}(z)i $$

Ahora, debido a que el logaritmo natural es uno-a-uno, yo escribo:

$$ \ln |z| = \ln |z+1| \Rightarrow |z| = |z+1|$$

Para asignar $ z = a +bi$

De modo que $|z| = \sqrt{a^2 +b^2} = |z+1| = \sqrt{(a+1)^2 +b^2} \Rightarrow a^2 +b^2 = (a+1)^2 +b^2 \Rightarrow a^2 = (a+1)^2 \Rightarrow a = -\frac12 $

Por eso, $z = -\frac12 + bi$ $z+1 = \frac12 + bi$ algunos $b \in \mathbb R$

Ahora para encontrar $b$

$$ \mathbf{Arg}(z+1) = \mathbf{Arg}(z)$$ $$ \tan^{-1} \frac{b}{\frac12} = \pi - \tan^{-1}\frac{b}{-\frac12}$$

Tengo la sensación de que esta última parte no está bien, por eso quiero saber si me estoy acercando a esta pregunta correctamente?

Finalmente, llego $ z = -\frac12$ que luego de la inspección...está mal...

Answer 1

Cómo se acerca, vamos a $ u = z-1/2 $. A continuación, en términos de $ u $ usted tiene: $$ \left(u+\frac{1}{2}\right)^5 = \left(u - \frac{1}{2}\right)^5 $$ Sobre la expansión: $$ 5 u^4 + \frac{5}{2} u^2 + \frac{1}{16} = 0 $$ Una ecuación de segundo grado en $ u^2 $. Se puede obtener desde aquí?

Answer 2

Si se dividen ambos lados de la $z^5$ (tenga en cuenta que $z\ne0$, ya que para $z=0$ obtenemos $0=1$), se obtiene $$ \left(1+\frac1z\right)^5=1. $$ La expresión entre corchetes no ser $1$, por lo que nos quedamos con los cuatro no trivial de la quinta raíces de la unidad: $$ 1+\frac1z=e^{2\pi i k/5},\, \ k=1,2,3,4. $$ Así que tenemos cuatro soluciones, a saber:
$$ z=\frac1{e^{2\pi i k/5}-1},\, \ k=1,2,3,4. $$

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ $$ \pars{1 + {1 \over z_{n}}}^{5} = \expo{2n\pi\ic}\,,\qquad n = 1, 2, 3, 4 $$ $1 + 1/z_{n} = \expo{2n\pi\ic/5}\quad\imp\quad 1/z_{n} = \expo{2n\pi\ic/5} - 1$ $\quad\imp\quad z_{n} = \pars{\expo{2n\pi\ic/5} - 1}^{-1}$. $$\color{#0000ff}{\large% \mbox{Hay cuatro raíces:}\quad \left\lbrace% \begin{array}{rcl} z_{1} & = & {1 \over \expo{2\pi\ic/5} - 1} \\ z_{2} & = & {1 \over \expo{4\pi\ic/5} - 1} \\ z_{3} & = & {1 \over \expo{6\pi\ic/5} - 1} \\ z_{4} & = & {1 \over \expo{8\pi\ic/5} - 1} \end{array}\right.} $$

Answer 4

tal vez también vale la pena señalar que la ecuación dada implica $|z+1|^2=|z|^2$
es decir, $(z+1)(z^*+1) = zz^*$ dar $z+z^*+1 = 0$
por lo tanto $\mathfrak{Re}(z)=-\frac12$, lo que motiva user110781 ordenado la sustitución de

Answer 5

En los números complejos, el logaritmo natural no es uno a uno. Debido a $e^{2\pi i}=1$ puede agregar $2\pi i$ a cualquiera de registro y conseguir otro. Es como el $\pm$ que se muestra en los reales cuando usted toma una raíz cuadrada. Pero usted puede ver esto como una ecuación de cuarto grado (el quinto poderes cancelar) que Alfa encuentra las cuatro raíces de: $\frac 1{10}\left(-5\pm i\sqrt{5(5\pm 2\sqrt 5)}\right)$ donde los signos más o menos son todas las cuatro opciones.