El grupo de Brauer de global campos

Question

Es el grupo de Brauer $\text{Br}(K)$ de un campo global $K$

• una $\ell$-divisible grupo de algunos de los mejores $\ell$? Si es así, ¿que $\ell$?

• Es $\text{Br}(K)[n]$ finito, para $n$ entero?

Sé de campo de la clase de teoría que encaja en una secuencia exacta

$$0\to \text{Br}(K)\to\bigoplus_v\text{Br}(K_v)\xrightarrow{\sum_v \text{inv}_v} \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\to 0$$

con $v$ ejecución sobre todos los lugares de $K$, e $K_v$ a la finalización de $K$$v$.

pero yo no puedo concluir.

Muchas gracias.

Answer 1

La secuencia exacta divide (no canónicamente) para demostrar que $Br(K)$ es una suma directa de un número limitado de copias de $\Bbb Z/2\Bbb Z$ (procedente de los lugares reales) y countably muchas copias de $\Bbb Q/\Bbb Z$. Por lo que el $n$-torsión es siempre infinito (para $n\ge2$) y el grupo es $\ell$-divisible para todos los impares $\ell$. Para $\ell=2$, $Br(K)$ es $2$-divisible iff $K$ es totalmente complejo.