Cómo solucionar $\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{(x-a)(x-b)}-x$?

Question

¿Cómo puedo solucionar? He tratado de multiplicar y dividir por el conjugado no puede avanzar. $$\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{(x-a)(x-b)}-x$$

Answer 1

Multiplicando y dividiendo por el conjugado funciona bien. Deje $x$ ser positivo y mayor que $a$$b$. Podemos obtener rápidamente $$\frac{-ax-bx+ab}{\sqrt{(x-a)(x-b)}+x}.$$ Dividir la parte superior e inferior por $x$. (Que es otra comúnmente útil tipo de movimiento.) Tenemos $$\frac{-a-b+\frac{ab}{x}}{\sqrt{\left(1-\frac{a}{x}\right)\left(1-\frac{b}{x}\right)}+1}.$$ Ahora encontrar el límite es sencillo.

Answer 2

$\bf{My\; Solution::}$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{(x-a)(x-b)}-x\;,$ Uso De $\bf{A.M\geq G.M}$

Ahora, Cuando $x\rightarrow \infty,$ $(x-a)\;,(x-b)\rightarrow \infty$

Por lo $\displaystyle \frac{(x-a)+(x-b)}{2}\geq \sqrt{(x-a)(x-b)}\Rightarrow x-\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{(x-a)(x-b)}$

Y la igualdad se mantenga al $(x-a) = (x-b)\rightarrow \infty$

$\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty}x-\left(\frac{a+b}{2}\right)-x =\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{(x-a)(x-b)}-x$

Por lo $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{(x-a)(x-b)}-x = -\left(\frac{a+b}{2}\right)$