Abuso del símbolo "Proporcional a

Question

Que yo sepa, la afirmación " $a \propto b$ " equivale a " $a = kb$ para un valor arbitrario $k$ ". ¿Hay algún problema con lo siguiente?

$$ \begin{align} f(x) &\propto 2\,f(x) \\ 6 &\propto \pi \\ \begin{bmatrix} -5 \\ 10 \end{bmatrix} &\propto \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \\ A\mathbf{x} &\propto \mathbf{x} \end{align} $$

Quiero utilizar esto en un entorno informal y me pregunto si es un completo disparate. ¿Se ha (ab)utilizado esta notación en algún sitio? ¿Debo aclarar primero que " $a \propto b \Longleftrightarrow a = kb$ para un $k$ " en la parte superior de la página?

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(Otras notaciones como " $a$ es múltiplo de $b$ $\Longleftrightarrow$ $a|b$ "son demasiado restrictivas para el uso que pretendo darles, ya que implican una multiplicidad de enteros y no se pueden encadenar bien, como por ejemplo $2(a, -a) = (2a, -2a) \propto (1, -1)$ por ejemplo).

Gracias por su aportación.

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Edita: Me pidieron que diera algo de contexto: Soy un estudiante escribiendo a mano sus deberes de álgebra lineal. Me encuentro con que quiero subrayar que un vector es múltiplo escalar de otro en una cadena de igualdades sin tener que escribir "donde ". $a, a’ $ " en todas partes o escribiendo palabras. Fragmento: $$ \mathbf{q}_2 = \mathbf{v}_2 - \text{Proj}_\mathbf{q1}\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{6}{5} \\ -\frac{3}{5} \end{bmatrix} \propto \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} = \mathbf{u_2} $$ Comprendo que es pereza, pero me picó la curiosidad. Me pareció bonito.

Answer 1

Este uso de la proporcionalidad es inusual. Dos vectores "proporcionales" también son paralelos, de ahí que el símbolo paralelo sea más adecuado para los vectores $$ \begin{bmatrix} -5 \\ 10 \end{bmatrix} \parallel \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} $$ $$ A\mathbf{x} \parallel \mathbf{x} $$ Las funciones son esencialmente vectores, por lo que $f \parallel g$ también es adecuado.

Answer 2

Para dar un punto de vista diferente, en realidad hay un conjunto estándar que es el conjunto de vectores hasta la escala, y se llama $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ o $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ dependiendo del campo escalar subyacente. Se pronuncian "espacio proyectivo real" y "espacio proyectivo complejo", respectivamente.

Desde $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ se define como un conjunto de clases de equivalencia donde dos vectores distintos de cero están en la misma clase de equivalencia si y sólo si son múltiplos de escala el uno del otro, estaría bien utilizar el símbolo de equivalencia por defecto $\sim$ siempre que defina lo que quiere decir. Por ejemplo, \begin{equation} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} . \ fin ecuación (Lo que no me gusta especialmente de $\propto$ es que parece una relación no simétrica, aunque es un uso inteligente del símbolo, y si defines lo que quieres decir está perfectamente bien. De hecho, se podría decir $v\propto w$ si $v=cw$ para algunos $c\in\mathbb{R}$ y entonces se le permite decir $\mathbf{0}\propto \mathbf{x}$ . Esto contrasta con $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ donde no permitimos la comparación con el vector cero).

Answer 3

No hay nada malo en utilizar la notación de esta manera, ya que es una generalización real del uso común de $\propto$ . Así que si te resulta muy útil, ¿por qué no? Sólo estás dando un nombre a una relación (la definición correcta la dio Monstrous Moonshine en los comentarios).

Pero, sí, lo más probable es que debas introducir primero la notación antes de utilizarla, ya que no es muy conocida en esta versión generalizada.

Answer 4

Proporcionalidad descrita por Wikipedia se describe como la relación entre dos variables tal que " $ab$ es equivalente a $a=kb$ "como usted ha descrito.

Por lo tanto, ninguno de los ejemplos son ejemplos correctos de proporcionalidad, ya que (1) compara dos funciones (2) compara dos números (3) compara dos vectores y (4) utiliza una sola variable.

La forma correcta de describir estas relaciones sería:

(1): $g(x) = 2f(x)$

(2): $6x = \pi$

(3):
$$ A\begin{bmatrix} -5 \\ 10 \\ \end{bmatrix} $$

$$ =\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix} $$

(4): $Bx = y$

En resumen, la proporcionalidad describe las relaciones entre dos variables, de modo que una puede "ampliarse/reducirse" con respecto a otra. En muchas situaciones, suele ser mejor definir una función en términos de otra utilizando un multiplicador constante y estableciéndolo igual a la función.

EDIT: En el contexto que ha puesto el OP, mi opinión seguiría siendo no usar el símbolo de proporcionalidad. Creo que sacrificar el contexto y la calidad por una abreviatura oculta el verdadero significado de proporción, y escribiendo $a,a$ se aclara el contexto en el que se utilizan los números.

Creo que fuera de su definición de describir la relación entre dos variables, un símbolo de igualdad con un multiplicador constante es mucho más útil (se puede aplicar ampliamente) y es claro y bien definido.