Demostrando que $e^\pi=e^{-\pi}$

Question

Llevo un tiempo atascado con esto. Tengo esta cadena de razonamiento que implicaría $e^{-\pi}=e^\pi$ obviamente falso, ya que $e^\pi$ y $e^{-\pi}$ son dos números reales distintos, por lo que debo haber hecho una suposición en alguna parte que en realidad no puedo hacer. Sé que tengo que ser muy cuidadoso cuando se trabaja con números complejos, especialmente cuando están en los exponentes, y por lo tanto traté de hacer los pasos tan pequeños como pude para que sea más fácil señalar donde se equivocó.

\begin{align} e^{-\pi}&= e^{\pi\cdot -1}\tag{1}\\ &=e^{\pi\cdot i^2}\tag{2}\\ &= e^{\pi\cdot i\cdot i}\tag{3}\\ &= \left(e^{\pi\cdot i}\right)^i\tag{4}\\ &= (-1)^i\tag{5}\\ &=\left(\tfrac{1}{-1}\right)^i\tag{6}\\ &=\left((-1)^{-1}\right)^i\tag{7}\\ &=(-1)^{-1\cdot i}\tag{8}\\ &=(-1)^{-i}\tag{9}\\ &=\left(e^{i\pi}\right)^{-i}\tag{10}\\ &=e^{i\pi\cdot -i}\tag{11}\\ &=e^{-i^2\pi}\tag{12}\\ &=e^\pi\tag{13} \end{align} Sospecho que tiene algo que ver con el cambio de la base de $e$ a $-1$ Pero, ¿qué significa eso? ¿Las potencias complejas sólo se definen para bases positivas? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Aquí está su "prueba" presentada de manera diferente:

Tenemos $e^{i\pi}=-1=\frac{1}{-1}=\frac{1}{e^{i\pi}}=e^{-i\pi}$ . Hasta ahora todo está bien. Ahora nuestra idea es llevar a ambas partes al poder de $i$ : $(e^{i\pi})^i=(e^{-i\pi})^i$ . La conclusión errónea aparecería si se utiliza la identidad $(a^b)^c=a^{bc}$ . Y aquí está el problema: esta identidad no se cumple para todos los números complejos. (EDIT: de hecho, esta identidad no siempre se cumple si tenemos números reales $a,b,c$ como menciona leonbloy en el comentario. Téngalo en cuenta).

También se podría tocar el tema: Lo que es $(e^{i\pi})^i$ ? Aquí tenemos que volver a la definición de exponenciación de los números complejos: $a^b=e^{b\ln a}$ . Sin embargo, hay un grave problema: el logaritmo complejo es multivalente. Tomando una rama del logaritmo, tenemos $\ln e^{i\pi}=i\pi$ Así que $(e^{i\pi})^i=e^{i\cdot i\pi}$ (NOTA: aquí utilizamos el definición de la exponenciación compleja, no exactamente la propiedad $(a^b)^c=a^{bc}$ ), que es $e^{-\pi}$ .

Sin embargo, al mismo tiempo tenemos $e^{i\pi}=e^{-i\pi}$ Así que podríamos decir $\ln e^{i\pi}=-i\pi$ . Así conseguimos $(e^{i\pi})^i=e^{i\cdot (-i\pi)}=e^\pi$ .

Así que si piensas un poco en esto, el núcleo del problema es que el logaritmo complejo, y por tanto también la exponenciación, son multivaluados.