Cómo resolver la ecuación de $\sin^3x+\sin^3(\frac{2\pi}{3}+x)+\sin^3(\frac{4\pi}{3}+x)+\frac{3}{4}\cos2x=0$.

Question

Resolver la ecuación de $$\sin^3x+\sin^3\left(\frac{2\pi}{3}+x\right)+\sin^3\left(\frac{4\pi}{3}+x\right)+\frac{3}{4}\cos2x=0$$

Tengo una sugerencia sobre cómo resolver esta ecuación?

Answer 1

El uso de la identidad de $\sin^3 \theta = \dfrac{3}{4}\sin\theta-\dfrac{1}{4}\sin 3\theta$, obtenemos:

$\sin^3 x + \sin^3(x+\tfrac{2\pi}{3}) + \sin^3(x+\tfrac{4\pi}{3})$

$= \dfrac{3}{4}\left[\sin x + \sin(x+\tfrac{2\pi}{3})+\sin(x+\tfrac{4\pi}{3})\right] - \dfrac{1}{4}\left[\sin 3x + \sin(3x+2\pi) + \sin(3x+4\pi)\right]$

$= \dfrac{3}{4} \cdot 0 - \dfrac{1}{4} \cdot 3\sin3x$

$= -\dfrac{3}{4}\sin 3x$.

Por lo tanto, su ecuación es equivalente a $-\dfrac{3}{4}\sin 3x + \dfrac{3}{4}\cos 2x = 0$.

Se puede tomar desde aquí? (La siguiente cosa que usted debe hacer es usar uno de estos de suma-a-la identidad de los productos.)

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El uso de las identidades $\sin\theta = \cos(\tfrac{\pi}{2}-\theta)$$\cos A - \cos B = -2\sin\tfrac{A+B}{2}\sin\tfrac{A-B}{2}$, tenemos:

$\cos 2x - \sin 3x= 0$

$\cos 2x -\cos(\tfrac{\pi}{2}-3x) = 0$

$2\sin\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$

$\sin\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$ O $\sin\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$

$\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4} = k\pi$ O $\dfrac{5x}{2}-\dfrac{\pi}{4} = k\pi$ algunos $k \in \mathbb{Z}$

$x = \dfrac{(4k+1)\pi}{2}$ O $x = \dfrac{(4k+1)\pi}{10}$ algunos $k \in \mathbb{Z}$

No es difícil ver que $x = \dfrac{(4k+1)\pi}{10}$ cubre todos los valores que satisfacen $x = \dfrac{(4k+1)\pi}{2}$. Así que la solución es simplemente $x = \dfrac{(4k+1)\pi}{10}$ algunos $k \in \mathbb{Z}$.