Es bastante fácil encontrar el máximo número posible de k. El más pequeño posible de la suma de k distintos números enteros positivos es ∑ki=1i=k(k+1)2. Para k=14 esto ya es 105, que es demasiado grande, por lo que el k no puede ser más que 13. ∑1i=13i=91, que es demasiado pequeño por 9, así que trate de aumentar el tamaño de la más grande de la pila de1313+9=22, haciendo montones de 1,2,3,…,11,12 22 piedras. La división de cualquiera de estas pilas en dos produce una pequeña pila de tamaño en la mayoría de las 11, coincidente con uno de los unsplit pilas. Por lo tanto, el valor máximo posible de k13.
El mínimo es bastante fácilmente visto en la mayoría de las 10, el uso de pilas de tamaños 1,3,5,…,17,19: ∑10i=1(2k−1)=100, y la división de un número impar siempre producirá un menor número impar, la coincidencia de uno de los montones. La única pregunta que queda es si cualquier número menor que es bueno.
Deje k ser bueno, con pilas de tamaños de n1<n2<⋯<nk testigos de este hecho. Considere la posibilidad de ni algunos i>1. Supongamos primero que ni=2m es incluso. A continuación, podemos dividir la pila con ni piedras en m formas diferentes, desde el 1+(ni−1)m+m. El incluso dividir el m+m cuida de sí mismo, pero cada uno de los restantes m−1 divisiones tiene que incluir una pila de tamaño nj algunos j<i. Por lo tanto, debemos tener m−1≤i−1, m≤i, y ni=2m≤2i. Si ni=2m+1 es impar, todavía hay m maneras de dividir el i-ésimo de la pila, de1+(ni−1)m+(m+1), pero esta vez todos de ellos tienen que incluir un montón de coincidencia de uno de los i−1 más pequeños montones, así que debemos tener m≤i−1 y por lo tanto ni≤2(i−1)+1= 2i−1. En ambos casos tenemos ni≤2i.
Supongamos ahora que k<10: a continuación, por el resultado del último párrafo que hemos k∑i=1ni≤2k∑i=1i=k(k+1)≤9⋅10=90<100, too few stones altogether. Thus, 10 is the minimum possible value of k.