He leído que la contraposición $\neg Q \rightarrow \neg P$ en intuitionistic la lógica no es generalmente equivalente a $P \rightarrow Q$. Si esto es correcto, ¿en qué caso puede esta contraposición lógica equivalencia ser utilizado en intuitionistic lógica?
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En contraposición intuitionism puede, a veces, se utiliza, pero es una situación delicada.
Usted puede pensar de esta manera. Intuitionistically, el significado de $P\to Q$ es que cualquier prueba de $P$ se puede convertir en una prueba de $Q$. Del mismo modo, $\neg Q \to \neg P$ significa que de cada prueba de $\neg Q$ se puede convertir en una prueba de $\neg P$.
Si $P\to Q$ es cierto, y se le da una prueba de $\neg Q$, se puede construir una prueba de $\neg P$ ? La respuesta es sí, como sigue. Así, se nos da una prueba de que no hay ninguna prueba de $Q$. Supongamos $P$ es verdadera, entonces se puede convertir en una prueba de $Q$, pero luego vamos a tener una prueba de $Q\wedge \neg Q$, lo cual es imposible. Por lo tanto sólo nos mostró que no es el caso que $P$ mantiene, por lo tanto $\neg P$ mantiene. En otras palabras, $(P\to Q)\to (\neg Q \to \neg P)$.
En la otra dirección, supongamos que $\neg Q \to \neg P$, y se le da una prueba de $P$. Se puede construir ahora una prueba de $Q$? Bueno, no del todo. Lo mejor que puedes hacer es la siguiente. Supongamos que tengo una prueba de $\neg Q$. Me lo puede convertir en una prueba de $\neg P$, y a continuación, obtener una prueba de $P\wedge \neg P$, lo cual es imposible. Se muestra así que $\neg Q$ no puede ser probada. Es decir, que $\neg \neg Q$ mantiene. En otras palabras, $(\neg Q \to \neg P)\to (P\to \neg \neg Q)$.
JoshL
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En qué caso puede esta contraposición lógica equivalencia ser utilizado en intuitionistic lógica?
Este no es sencilla de responder. Lo que se necesita para ser verdad es que $P$ $Q$ necesidad de actuar lo suficiente como clásicas fórmulas. He aquí dos ejemplos:
1. La negativa de la traducción integra la lógica clásica en intuitionistic lógica, el envío de una fórmula $S$ a una fórmula $S^N$. Si hacemos esto para un ejemplo de contraposición, obtenemos:
$$(\lnot R \a \lnot S) \(S \a R))^N\\ (\lnot R \a \lnot S)^N \(S \I)^N\\ ((\lnot R)^N \(\lnot R)^N \a (S^N \R^N)\\ (\lnot R^N \\lnot S^N) \a (S^N \R^N)$$
Por lo tanto, $(\lnot R^N \to \lnot S^N) \to (S^N \to R^N)$ es intuitionistically válido para todos los $R,S$. En particular, si $P$ $Q$ son equivalentes a la negativa de traducciones de otras fórmulas, entonces contraposición tiene por $P$$Q$.
2. Aquí es un punto de vista diferente. Supongamos $Q_0$ es una fórmula fija tal que la contraposición se encuentra entre el $Q_0$ y todos los $P$: $$(\lnot Q_0 \to \lnot P) \to (P \to Q_0)$$
Luego, dejando $P$$\lnot \bot$, $\lnot P$ equivalente a $\bot$, y a partir de $$(\lnot Q_0 \to \lnot P) \to (P \to Q_0)$$ obtenemos $$(\lnot \lnot Q_0) \to (\lnot \bot \to Q_0)$$ que es equivalente a $$\lnot \lnot Q_0 \to Q_0$$ Por lo tanto si $Q_0$ satisface contraposición con todas las $P$, $Q_0$ es equivalente a $\lnot\lnot Q_0$. Lo contrario de esto fue demostrado por Ittay Weiss en otra respuesta: si $Q_0$ es equivalente a $\lnot\lnot Q_0$ $Q_0$ satisface contraposición con todas las $P$.
